1. 本題要求計算三角函數平方的定積分。首先，我們將被積函數進行展開： $(3 + \tan\theta\sec\theta)^2 = 9 + 6\sec\theta\tan\theta + \sec^2\theta\tan^2\theta$
2. 對這三項分別進行積分：
   • 第一項：$\int 9 \,\mathrm{d}\theta = 9\theta$。
   • 第二項：$\int 6\sec\theta\tan\theta \,\mathrm{d}\theta = 6\sec\theta$。
   • 第三項：$\int \sec^2\theta\tan^2\theta \,\mathrm{d}\theta$。 這項包含 $\sec^2\theta$，由於它的微分剛好是正切的導數（$(\tan\theta)' = \sec^2\theta$），因此我們可以使用代換積分法 (Integration by Substitution)。 令 $u = \tan\theta \implies \mathrm{d}u = \sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta$。 積分即變為 $\int u^2 \,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}u^3 = \frac{1}{3}\tan^3\theta$。
3. 將各項代回並代入積分上下限 $[0, \pi/3]$ 求解。

首先，將被積函數展開為三項：

我們可以把積分拆為三個部分進行計算：

1. 第一部分：

   $$\int_{0}^{\pi/3} 9 \,\mathrm{d}\theta = \Big[ 9\theta \Big]_{0}^{\pi/3} = 3\pi - 0 = 3\pi$$

2. 第二部分： 因為 $(\sec\theta)' = \sec\theta\tan\theta$，所以：

   $$\int_{0}^{\pi/3} 6\sec\theta\tan\theta \,\mathrm{d}\theta = \Big[ 6\sec\theta \Big]_{0}^{\pi/3} = 6\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) - 6\sec(0) = 6(2) - 6(1) = 6$$

3. 第三部分： 對於 $\int \sec^2\theta\tan^2\theta \,\mathrm{d}\theta$，我們令 $u = \tan\theta \implies \mathrm{d}u = \sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta$。 對應的積分上下限：

   • 當 $\theta = 0$ 時， $u = \tan(0) = 0$
   • 當 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 時， $u = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

   代入進行代換積分：

   $$\int_{0}^{\pi/3} \sec^2\theta\tan^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\sqrt{3}} u^2 \,\mathrm{d}u = \left[ \frac{1}{3}u^3 \right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\left( \sqrt{3} \right)^3 - 0 = \sqrt{3}$$

將這三部分結果相加，可得定積分值為：

結論： 定積分值為 $3\pi + 6 + \sqrt{3}$。