1. 本題極限的底數當 $n \to \infty$ 時為 $\frac{2}{\pi}\arctan(\infty) = \frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2} = 1$，指數部分為 $\infty$。這是一個 $1^\infty$ 型未定式。
2. 對於 $1^\infty$ 型未定式，我們採用自然對數變換： $y = \left[ \frac{2\arctan(2n)}{\pi} \right]^n \implies \ln y = n \ln\left[ \frac{2\arctan(2n)}{\pi} \right]$
3. 當 $n \to \infty$ 時，$\ln y$ 成為 $\infty \cdot 0$ 型未定式。我們可以將其寫為分式形式以套用羅必達法則： $\lim_{n\to\infty} \ln y = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln\left[ \frac{2\arctan(2n)}{\pi} \right]}{\frac{1}{n}}$
4. 為了簡化微分，我們也可以將極限中的自變數改寫為連續實數 $x \to \infty$，並對分子分母求導。
5. 另一個更快的展開思路： 利用反三角函數的餘角關係： $\arctan(2n) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{2n}\right)$ 代入後： $\frac{2\arctan(2n)}{\pi} = 1 - \frac{2}{\pi}\arctan\left(\frac{1}{2n}\right)$ 利用極限 $u \to 0$ 時 $\ln(1-u) \approx -u$ 與 $\arctan u \approx u$： $\ln\left[ 1 - \frac{2}{\pi}\arctan\left(\frac{1}{2n}\right) \right] \approx -\frac{2}{\pi}\arctan\left(\frac{1}{2n}\right) \approx -\frac{2}{\pi} \frac{1}{2n} = -\frac{1}{\pi n}$ 因此： $n \ln\left[ \frac{2\arctan(2n)}{\pi} \right] \approx n \left( -\frac{1}{\pi n} \right) = -\frac{1}{\pi}$ 最後取指數 $e^{-1/\pi}$ 即可。

我們令待求的極限為 $L$，且考慮對應的連續函數極限。設：

兩邊取自然對數：

當 $x \to \infty$ 時，此式為 $\frac{0}{0}$ 型。我們對分子與分母分別關於 $x$ 求導（套用羅必達法則）：

• 分母微分： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}$$
• 分子微分（利用連鎖律）： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \ln\left[ \frac{2}{\pi}\arctan(2x) \right] \right) = \frac{1}{\frac{2}{\pi}\arctan(2x)} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{1+(2x)^2} = \frac{2}{\arctan(2x) \cdot (1+4x^2)}$$

將兩者代回羅必達極限中：

當 $x \to \infty$ 時：

• $\displaystyle \arctan(2x) \to \frac{\pi}{2}$
• $\displaystyle \frac{-2x^2}{1+4x^2} = \frac{-2}{\frac{1}{x^2} + 4} \to -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

代入極限值：

最後，求得原極限 $L$：

結論： 極限值為 $e^{-1/\pi}$。