1. 本題要求尋找 $f(x)$ 的反函數 $g(x)$ 在 $x=6$ 處的導數值 $g'(6)$。
2. 根據反函數求導公式： $g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \quad \text{其中 } y_0 = f(x_0)$ 這裡 $y_0 = 6$，我們首先要找出對應的 $x_0$，即解方程式 $x\sqrt{1+2x^2} = 6$。
3. 求解方程式： 因為 $6 > 0$，所以 $x$ 必須為正數。兩邊平方得： $x^2(1 + 2x^2) = 36 \implies 2x^4 + x^2 - 36 = 0$ 這是一個二次型的四次方程，令 $u = x^2$ 進行因式分解： $(2u + 9)(u - 4) = 0 \implies (2x^2+9)(x^2-4) = 0$ 由於 $x$ 為實數，$x^2 \ge 0$，因此唯一合理的實數解為 $x^2 = 4 \implies x = 2$。
4. 求導並代入： 我們對原函數 $f(x) = x(1+2x^2)^{1/2}$ 進行微分： $f'(x) = \sqrt{1+2x^2} + x \cdot \frac{4x}{2\sqrt{1+2x^2}} = \frac{1+4x^2}{\sqrt{1+2x^2}}$ 將 $x=2$ 代入求得 $f'(2)$，取其倒數即可。

第一步：尋找反函數對應點

設 $g(6) = x$，這等價於：

由於等號右邊 $6 > 0$，所以 $x$ 必然大於 $0$。我們對兩邊進行平方：

對該二次型多項式進行因式分解：

因為對於任意實數 $x$， $2x^2+9 > 0$ 恆成立，所以必須有：

又因為 $x > 0$，故唯一的實數解為：

這說明 $f(2) = 6 \implies g(6) = 2$。

第二步：求原函數的導函數

對 $f(x) = x(1+2x^2)^{1/2}$ 使用乘積與連鎖律求導：

將 $x = 2$ 代入 $f'(x)$：

第三步：套用反函數求導公式

根據反函數求導法則：

結論： $g'(6) = \frac{3}{17}$。