1. 本題是當 $x \to 0$ 時的 $\frac{0}{0}$ 型未定式極限。
2. 為了處理複雜的複合三角函數 $\sin(2\arcsin(3x))$，我們可以先利用正弦二倍角公式進行化簡： $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ 這裡令 $\theta = \arcsin(3x)$。
3. 根據反三角函數的定義：
   • $\sin(\arcsin(3x)) = 3x$
   • $\cos(\arcsin(3x)) = \sqrt{1 - (3x)^2} = \sqrt{1 - 9x^2}$ 因此： $\sin(2\arcsin(3x)) = 2 \cdot (3x) \cdot \sqrt{1-9x^2} = 6x\sqrt{1-9x^2}$
4. 將化簡後的結果代回極限式中： $\lim_{x\to 0} \frac{6x\sqrt{1-9x^2} - 6x}{x^3} = 6 \lim_{x\to 0} \frac{x\big(\sqrt{1-9x^2} - 1\big)}{x^3} = 6 \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-9x^2} - 1}{x^2}$
5. 這是一個簡單的 $\frac{0}{0}$ 不定型，我們可以利用有理化分子或羅必達法則直接求值。

首先，利用正弦二倍角公式 $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$，其中令 $\theta = \arcsin(3x)$：

根據定義，當 $3x \in [-1, 1]$ 時，有 $\sin(\arcsin(3x)) = 3x$，且：

代回二倍角展開式中：

將其代回原極限式：

此時極限仍為 $\frac{0}{0}$ 不定型。我們將分子有理化（同乘以 $\sqrt{1-9x^2} + 1$）：

結論： 極限值為 $-27$。

1. 當自變數 $x \to 0$ 時，使用泰勒級數（麥克勞林級數）展開常能極快速解決三角與反三角的複合極限。
2. 已知 $\arcsin u$ 與 $\sin v$ 在 $0$ 附近的麥克勞林展開式分別為：
   • $\arcsin u = u + \frac{1}{6}u^3 + \mathcal{O}(u^5)$
   • $\sin v = v - \frac{1}{6}v^3 + \mathcal{O}(v^5)$
3. 我們令 $u = 3x$，代入 $\arcsin(3x)$ 展開至 $x^3$ 項： $\arcsin(3x) = 3x + \frac{1}{6}(3x)^3 + \mathcal{O}(x^5) = 3x + \frac{9}{2}x^3 + \mathcal{O}(x^5)$ 則二倍角為： $2\arcsin(3x) = 6x + 9x^3 + \mathcal{O}(x^5)$
4. 接著將 $v = 2\arcsin(3x) = 6x + 9x^3 + \mathcal{O}(x^5)$ 代入正弦函數的展開式： $\sin(2\arcsin(3x)) = (6x + 9x^3) - \frac{1}{6}(6x)^3 + \mathcal{O}(x^5) = 6x + 9x^3 - 36x^3 + \mathcal{O}(x^5) = 6x - 27x^3 + \mathcal{O}(x^5)$
5. 代回原極限式，即可極為輕鬆地直接讀出極限值為 $-27$。

已知基本函數在 $0$ 附近的麥克勞林展開式：

令 $u = 3x$，代入可得：

因此：

又已知正弦函數的展開式為：

將 $v = 6x + 9x^3 + \mathcal{O}(x^5)$ 代入正弦展開式中，我們只需保留到 $x^3$ 項：

將此展開式代回原極限式：

證明與計算皆極為快捷。

結論： 極限值為 $-27$。