1. 本題給出一個複雜的積分區域 $D$，由四條拋物線圍成。題目指定使用雅可比變數變換 (Jacobian Transformation)： $u = \frac{x^2}{y}, \quad v = \frac{y^2}{x}$
2. 第一步：確定新變數 $u, v$ 的積分範圍：
   • 邊界 $x^2 = y \implies \frac{x^2}{y} = 1 \implies u = 1$。
   • 邊界 $x^2 = 3y \implies \frac{x^2}{y} = 3 \implies u = 3$。
   • 邊界 $y^2 = x \implies \frac{y^2}{x} = 1 \implies v = 1$。
   • 邊界 $y^2 = 3x \implies \frac{y^2}{x} = 3 \implies v = 3$。 因此，新積分區域在 $uv$ 平面上為一個簡單的矩形區域 $D^* = [1, 3] \times [1, 3]$。
3. 第二步：計算雅可比行列式 (Jacobian)： 我們計算 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$： $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2x/y & -x^2/y^2 \\ -y^2/x^2 & 2y/x \end{pmatrix} = 4 - 1 = 3$ 因此雅可比行列式值為： $\mathrm{d}A = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{\left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right|} \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{3} \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$
4. 第三步：將被積函數轉換為 $u, v$ 形式：
   • 已知 $u^2 v = \frac{x^4}{y^2} \cdot \frac{y^2}{x} = x^3 \implies x^3 = u^2 v$。
   • 已知 $u v^2 = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^4}{x^2} = y^3 \implies y^3 = u v^2$。
   • 將被積分式分子與分母同除以 $y^2$： $\frac{y^2}{x^4 + 3y^2} = \frac{1}{\frac{x^4}{y^2} + 3}$ 觀察發現，由於 $u = \frac{x^2}{y} \implies u^2 = \frac{x^4}{y^2}$。 因此，被積函數可以完美簡化為： $\frac{1}{u^2 + 3}$ 這項完全與 $v$ 無關！
5. 進行雙重積分計算，利用 $\int \frac{1}{u^2+a^2} \mathrm{d}u = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}$ 公式求解。

第一步：確定新變數的範圍

給定變數變換關係：

原積分邊界與新變數的關係如下：

• 由 $x^2 = y \implies u = 1$；由 $x^2 = 3y \implies u = 3$。
• 由 $y^2 = x \implies v = 1$；由 $y^2 = 3x \implies v = 3$。

因此，在新座標系中，積分區域 $D^*$ 為：

第二步：計算雅可比行列式

我們計算偏導數矩陣：

計算其行列式值：

因此，雅可比行列式（Jacobian）為：

第三步：代入被積函數並求解積分

我們觀察被積函數：

將分子分母同除以 $y^2$：

將雅可比行列式與變量代入原雙重積分式中：

利用基本反三角函數特殊值 $\arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ 且 $\arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{\pi}{9\sqrt{3}}$（或寫成 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi}{27}$）。