1. 求 $f'(2)$：

   • 函數 $f(x) = \log_2(x^2)$ 可以利用對數的性質進行簡化。在 $x>0$ 時： $f(x) = 2\log_2|x| = 2 \cdot \frac{\ln x}{\ln 2}$
   • 對其求導得： $f'(x) = \frac{2}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x\ln 2}$
   • 將 $x=2$ 代入即可求出 $f'(2)$。

2. 求 $g'(2)$：

   • 函數 $g(x) = \log_x(2^x)$ 其底數為 $x$，指數部分為 $2^x$，這是一個變底數與變指數的對數函數。
   • 我們利用換底公式將底數換為自然底數 $e$： $g(x) = \frac{\ln(2^x)}{\ln x} = \frac{x\ln 2}{\ln x} = \ln 2 \cdot \frac{x}{\ln x}$
   • 利用商求導法則（Quotient Rule）對其求導： $g'(x) = \ln 2 \cdot \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \ln 2 \cdot \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$
   • 將 $x=2$ 代入即可求出 $g'(2)$。

1. 計算 $f'(2)$

已知函數 $f(x) = \log_2(x^2)$。當 $x \to 2$ 時，我們只考慮 $x > 0$ 的範圍。利用對數律：

對 $f(x)$ 關於 $x$ 求導：

將 $x = 2$ 代入導函數：

2. 計算 $g'(2)$

已知函數 $g(x) = \log_x(2^x)$。我們利用對數換底公式：

利用商求導法則對其進行微分：

將 $x = 2$ 代入導函數：

結論：

• $f'(2) = \frac{1}{\ln 2}$
• $g'(2) = 1 - \frac{1}{\ln 2}$