1. 本題要在旋轉對稱的方形區域 $D: |x|+|y| \le \pi/6$ 上計算二重積分 $\iint_D \cos(x+y)\,\mathrm{d}A$。
2. 觀察被積函數包含 $x+y$，且區域邊界為斜直線 $|x|+|y| = \pi/6$。這提示我們應使用變數變換 (Change of Variables)。
3. 第一步：定義新變數並確定邊界範圍：
   • 令 $u = x + y$， $v = x - y$。
   • 原邊界可展開為四條直線：
     • $x + y = \pm \pi/6 \implies u = \pm \pi/6$。
     • $x - y = \pm \pi/6 \implies v = \pm \pi/6$。
   • 因此，新區域 $D_{uv}$ 為一個正方形： $-\pi/6 \le u \le \pi/6$ 且 $-\pi/6 \le v \le \pi/6$。
4. 第二步：計算 Jacobian 行列式：
   • 雅可比逆變換行列式為： $J^{-1} = \det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2$
   • 雅可比行列式絕對值為： $|J| = \frac{1}{|J^{-1}|} = \frac{1}{2}$。
   • 故 $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2} \mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
5. 第三步：寫出累次積分並求解： $I = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \cos u \left(\frac{1}{2}\right) \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{2} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \mathrm{d}v \cdot \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \cos u \,\mathrm{d}u$

我們引入變數變換以簡化被積函數與積分區域。令：

我們分析積分區域 $D: |x| + |y| \le \frac{\pi}{6}$。此區域是一個以原點為中心、四個頂點為 $\left(\pm\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 與 $\left(0, \pm\frac{\pi}{6}\right)$ 的旋轉正方形。 其邊界可由下列四條直線方程式表示：

• $x + y = \frac{\pi}{6} \implies u = \frac{\pi}{6}$
• $x + y = -\frac{\pi}{6} \implies u = -\frac{\pi}{6}$
• $x - y = \frac{\pi}{6} \implies v = \frac{\pi}{6}$
• $x - y = -\frac{\pi}{6} \implies v = -\frac{\pi}{6}$

因此，變換後的積分區域 $D_{uv}$ 為一個以 $u$ 軸和 $v$ 軸為平行對稱軸的正方形：

我們計算雅可比行列式（Jacobian）來進行面積微元轉換：

因此其絕對值為：

代入新變數，將二重積分化為累次積分：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$。