1. 梯度的幾何意義： 函數 $f(x,y,z)$ 在某點增長最快的方向是其該點的梯度向量 $\nabla f(a,b,c)$。
2. 題目要求最速上升方向平行於 $\mathbf{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \langle 1, 1, 2 \rangle$。 這意味著梯度向量必須是該方向向量的正數倍： $\nabla f(a, b, c) = \lambda \langle 1, 1, 2 \rangle \quad \text{其中 } \lambda > 0$
3. 第一步：求偏導數與梯度向量：
   • $\nabla f(x, y, z) = \langle 2x - 4y, \ 2y - 4x, \ 1 \rangle$。
   • 在點 $(a,b,c)$ 處： $\nabla f(a, b, c) = \langle 2a - 4b, \ 2b - 4a, \ 1 \rangle$。
4. 第二步：建立分量比例關係式： $\frac{2a - 4b}{1} = \frac{2b - 4a}{1} = \frac{1}{2}$
   • 由此求得 $\lambda = \frac{1}{2} > 0$（滿足同向要求）。
   • 聯立方程組：
     1. $2a - 4b = \frac{1}{2}$
     2. $2b - 4a = \frac{1}{2}$
5. 第三步：解此方程組並探討 $c$ 的範圍：
   • 兩式相減： $6a - 6b = 0 \implies a = b$。
   • 代入解得 $a = b = -\frac{1}{4}$。
   • 因為偏導中完全沒有變數 $z$，所以 $c$ 可以是任何實數。
6. 第四步：特別指出並修正書中解聯立時算錯成 $-1/2$ 的筆誤。

我們知道，可微函數 $f(x, y, z)$ 在點 $(a, b, c)$ 處函數值增長最快的方向，就是其梯度向量 $\nabla f(a, b, c)$ 的方向。

我們先計算函數的梯度向量：

所以在點 $(a, b, c)$ 處的梯度為：

題目要求此最速增長方向與向量 $\mathbf{v} = \langle 1, 1, 2 \rangle$ 平行且同向。這意味著梯度向量必須是該方向向量的正數倍：

對應各分量寫出比例關係：

因為 $\lambda = \frac{1}{2} > 0$，符合方向相同（而非相反）的要求。

我們將其代回聯立方程式：

將式 (1) 與式 (2) 相減：

將 $a = b$ 代回式 (1)：

因此：

對於變數 $c$：由於偏微分中完全不含有變數 $z$，梯度向量在空間中與 $z$ 的座標值無關。因此， $c$ 可為任何實數。

結論： $a = -\displaystyle \frac{1}{4}, b = -\displaystyle \frac{1}{4}$，而 $c$ 可以是任意實數。