1. 定義冪級數： 設級數第 $n$ 項為 $a_n(x) = \frac{n(x-3)^n}{2^n(n^2+1)}$。
2. 第一步：使用比例審斂法求收斂半徑 $R$： $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)(x-3)^{n+1}}{2^{n+1}((n+1)^2+1)} \cdot \frac{2^n(n^2+1)}{n(x-3)^n} \right| = \frac{|x-3|}{2}$ 令其小於 1： $\frac{|x-3|}{2} < 1 \implies |x-3| < 2 \implies 1 < x < 5$。
3. 第二步：分析兩個邊界端點的斂散性：
   • 端點 $x = 1$：代回原級數中得到交錯級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{n^2+1}$，使用交錯級數法判斷。
   • 端點 $x = 5$：代回原級數中得到正項級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}$，使用極限比較審斂法與調和級數比較。
4. 第三步：結合端點結論寫出收斂區間。

設冪級數的一般項為：

我們套用比例審斂法（Ratio Test）：

為使級數絕對收斂，必須滿足此極限小於 $1$：

因此，收斂半徑為 $R = 2$，在開區間 $(1, 5)$ 內收斂。

我們接著個別檢驗邊界端點的斂散性：

1. 當 $x = 1$ 時： 代回原級數中，級數為：

   $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{n(1 - 3)^n}{2^n(n^2 + 1)} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n(-2)^n}{2^n(n^2 + 1)} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$$

   此為一個交錯級數。令 $u_n = \frac{n}{n^2 + 1} > 0$。我們使用交錯級數審斂法（Leibniz Test）：

   • 條件一： $\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2+1} = 0$ （滿足）。
   • 條件二：檢驗數列 $u_n$ 是否單調遞減。我們考量函數 $f(t) = \frac{t}{t^2+1}$ 的導數： $$f'(t) = \frac{1(t^2+1) - t(2t)}{(t^2+1)^2} = \frac{1 - t^2}{(t^2+1)^2} < 0 \quad \text{對於所有 } t > 1$$ 這說明數列 $u_n$ 自 $n=1$ 起為單調遞減（滿足）。

   因此，級數在 $x = 1$ 處收斂。

2. 當 $x = 5$ 時： 代回原級數中，級數為：

   $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{n(5 - 3)^n}{2^n(n^2 + 1)} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n(2)^n}{2^n(n^2 + 1)} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{n^2 + 1}$$

   我們使用極限比較審斂法（Limit Comparison Test），將其與發散的調和級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 進行比較：

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1 > 0$$

   因為此比值為正實數極限，所以兩級數具有相同的斂散性。 由於 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 發散，該級數在 $x = 5$ 處亦發散。

綜合上述，收斂區間在 $x = 1$ 處為閉，在 $x = 5$ 處為開。

結論： 收斂區間為 $[1, 5)$。