1. 第一步：求平面區域 $R$ 與 $x$ 軸的交點以確定積分區間：
   • 令 $y = x^2 - x^7 = x^2(1 - x^5) = 0$。
   • 因為 $x \ge 0$（在圓週上），解得 $x = 0$ 與 $x = 1$。
   • 故積分區間為 $x \in [0, 1]$。
2. 第二步：選取體積積分方法：
   • 區域 $R$ 圍繞垂直線 $x = 3$ 旋轉。
   • 因為旋轉軸平行於 $y$ 軸，且函數已給出 $y = f(x)$，使用剝殼法 (Cylindrical Shell Method) 是最方便的。
   • 剝殼法公式為： $V = \int_a^b 2\pi \cdot (\text{平均半徑}) \cdot (\text{高度}) \,\mathrm{d}x$
   • 平均半徑：旋轉軸為 $x=3$，在區間 $[0,1]$ 內任意點 $x$ 到旋轉軸的距離為 $3 - x$。
   • 高度：即為函數值 $y = x^2 - x^7$。
3. 第三步：寫出定積分並展開計算： $V = \int_0^1 2\pi (3 - x)(x^2 - x^7) \,\mathrm{d}x$

首先，我們尋找曲線 $y = x^2 - x^7$ 與 $x$ 軸（$y = 0$）的交點，以確定旋轉區域的範圍：

解得在實數範圍內的交點為：

因此，積分區間為 $x \in [0, 1]$。

因為我們是將此區域繞垂直線 $x = 3$ 旋轉，使用剝殼法（Cylindrical Shell Method）最為直接。 在任意 $x \in [0, 1]$ 處，薄圓柱殼的：

• 半徑（Radius）： $r(x) = 3 - x$
• 高度（Height）： $h(x) = x^2 - x^7$

根據剝殼法公式，旋轉體體積 $V$ 為：

代入上限 $1$ 與下限 $0$：

結論： 旋轉體體積為 $\displaystyle \frac{35\pi}{36}$。