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113 台綜大微積分(C) 第 5 題

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113學年度 · 113微積分C · 第 5 題

題目

Problem

5. Evaluate ∫036x−x2 dx\int_0^3 \sqrt{6x - x^2} \,\mathrm{d}x. (10%)

解答

解法一：圓幾何面積法（最速法）

思路

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  1. 本題求 ∫036x−x2 dx\int_0^3 \sqrt{6x-x^2} \,\mathrm{d}x。
  2. 我們可以從幾何圖形角度來理解這個定積分： 令 y=6x−x2  ⟹  y2=6x−x2  ⟹  x2−6x+y2=0  ⟹  (x−3)2+y2=9y = \sqrt{6x-x^2} \implies y^2 = 6x-x^2 \implies x^2-6x+y^2=0 \implies (x-3)^2 + y^2 = 9 （其中 y≥0y \ge 0）。 這是一個圓心在 (3,0)(3,0)、半徑為 r=3r=3 的上半圓。
  3. 積分範圍是 x∈[0,3]x \in [0, 3]。此範圍正好是該半圓在對稱軸 x=3x=3 左側的部分，即整個圓面積的 14\frac{1}{4}。
  4. 圓的總面積為 πr2=9π\pi r^2 = 9\pi。 因此，定積分值恰為 9π4\frac{9\pi}{4}。

答題過程

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我們令被積函數為：

y=6x−x2y = \sqrt{6x - x^2}

由於根式值非負，故 y≥0y \ge 0。我們對兩側進行平方並整理：

y2=6x−x2  ⟹  x2−6x+y2=0y^2 = 6x - x^2 \implies x^2 - 6x + y^2 = 0

配方後得到：

(x−3)2+y2=9(x - 3)^2 + y^2 = 9

這代表一個圓心在 (3,0)(3, 0)、半徑為 r=3r = 3 的圓。因為限制 y≥0y \ge 0，這是一條半圓曲線。

定積分 ∫036x−x2 dx\displaystyle \int_0^3 \sqrt{6x - x^2} \,\mathrm{d}x 的幾何意義，為該半圓在區間 x∈[0,3]x \in [0, 3] 內與 xx 軸圍成的平面區域面積。 因為區間 [0,3][0, 3] 恰為此圓的對稱軸 x=3x = 3 的左半部分，此區域恰為整個圓形面積的 14\frac{1}{4}。

利用圓面積公式：

∫036x−x2 dx=14(π⋅r2)=14(π⋅32)=9π4\int_0^3 \sqrt{6x - x^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{4} \left( \pi \cdot r^2 \right) = \frac{1}{4} \left( \pi \cdot 3^2 \right) = \frac{9\pi}{4}

解法二：三角代換法（傳統做法）

思路

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  1. 配方： ∫039−(x−3)2 dx\int_0^3 \sqrt{9-(x-3)^2} \,\mathrm{d}x。
  2. 使用三角換元：令 x−3=3sin⁡u  ⟹  dx=3cos⁡u dux-3 = 3\sin u \implies \mathrm{d}x = 3\cos u\,\mathrm{d}u。
  3. 更換上下限：
    • 當 x=0  ⟹  3sin⁡u=−3  ⟹  sin⁡u=−1  ⟹  u=−π2x = 0 \implies 3\sin u = -3 \implies \sin u = -1 \implies u = -\frac{\pi}{2}。
    • 當 x=3  ⟹  3sin⁡u=0  ⟹  sin⁡u=0  ⟹  u=0x = 3 \implies 3\sin u = 0 \implies \sin u = 0 \implies u = 0。
  4. 代回計算定積分。

答題過程

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我們首先對根式內進行配方：

∫036x−x2 dx=∫039−(x−3)2 dx\int_0^3 \sqrt{6x - x^2} \,\mathrm{d}x = \int_0^3 \sqrt{9 - (x - 3)^2} \,\mathrm{d}x

採用三角代換，令：

x−3=3sin⁡u  ⟹  dx=3cos⁡u dux - 3 = 3\sin u \implies \mathrm{d}x = 3\cos u\,\mathrm{d}u

更換積分界限：

  • 當 x=0x = 0 時， 3sin⁡u=−3  ⟹  sin⁡u=−1  ⟹  u=−π23\sin u = -3 \implies \sin u = -1 \implies u = -\frac{\pi}{2}。
  • 當 x=3x = 3 時， 3sin⁡u=0  ⟹  sin⁡u=0  ⟹  u=03\sin u = 0 \implies \sin u = 0 \implies u = 0。

代入積分式，並利用 9−9sin⁡2u=3cos⁡u\sqrt{9 - 9\sin^2 u} = 3\cos u（在 u∈[−π/2,0]u \in [-\pi/2, 0] 內餘弦值為正）：

∫039−(x−3)2 dx= ∫−π20(3cos⁡u)⋅(3cos⁡u du)= 9∫−π20cos⁡2u du\begin{align*} \int_0^3 \sqrt{9 - (x - 3)^2} \,\mathrm{d}x =&\, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (3\cos u) \cdot (3\cos u\,\mathrm{d}u) \\[4mm] =&\, 9 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2 u \,\mathrm{d}u \end{align*}

利用半角公式 cos⁡2u=1+cos⁡2u2\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}：

9∫−π20cos⁡2u du= 92∫−π20(1+cos⁡2u) du= 92[u+12sin⁡2u]−π20= 92(0−(−π2+0))=9π4\begin{align*} 9 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2 u \,\mathrm{d}u =&\, \frac{9}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 + \cos 2u) \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{9}{2} \left[ u + \frac{1}{2}\sin 2u \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \\[4mm] =&\, \frac{9}{2} \left( 0 - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right) = \frac{9\pi}{4} \end{align*}

結論： 積分值為 9π4\displaystyle \frac{9\pi}{4}。