1. 本題要求函數 $f(x) = x^8 e^{1-x^2}$ 在其定義域 $\mathbb{R}$ 上的絕對最大值。
2. 第一步：求一階導函數，尋找所有臨界點：
   • 使用乘積法則與連鎖律求導： $f'(x) = 8x^7 e^{1-x^2} + x^8 e^{1-x^2}(-2x) = 2x^7 e^{1-x^2}(4 - x^2)$
   • 令 $f'(x) = 0 \implies 2x^7(4-x^2) = 0 \implies x = 0$ 或 $x = \pm 2$。
3. 第二步：分析臨界點處的函數值並探討邊界行為：
   • 由於對於所有實數 $x$， $x^8 \ge 0$ 且 $e^{1-x^2} > 0$，所以 $f(x) \ge 0$ 恆成立。
   • 當 $x \to \pm\infty$ 時，指數衰減速度遠快於冪函數增長，故 $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = 0$。
   • 我們計算臨界點的函數值：
     • $f(0) = 0$。
     • $f(\pm 2) = (\pm 2)^8 e^{1-(\pm 2)^2} = 256 e^{-3} = \frac{256}{e^3}$。
   • 比較臨界點的值與無窮遠處的趨勢，最大值必為 $\frac{256}{e^3}$。

我們首先對函數 $f(x) = x^8 e^{1-x^2}$ 求一階導函數： 使用乘積與連鎖求導法則：

我們令 $f'(x) = 0$ 以尋找臨界點。因為 $e^{1-x^2} > 0$ 恆成立：

我們分析函數在整個實數軸 $(-\infty, \infty)$ 上的行為：

1. 非負性：因為 $x^8 \ge 0$ 且指數項恆正，所以 $f(x) \ge 0$。
2. 無窮遠處極限： $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^8}{e^{x^2-1}} = 0$$ （因為當 $x \to \pm\infty$ 時，分母指數增長的速度遠大於分子冪函數）。

我們計算各個臨界點的函數值：

• 在 $x = 0$ 處： $$f(0) = 0^8 e^{1-0^2} = 0$$
• 在 $x = \pm 2$ 處： $$f(2) = f(-2) = 2^8 e^{1-2^2} = 256 e^{-3} = \frac{256}{e^3}$$

因為在臨界點 $x = \pm 2$ 的函數值最大，且當 $x \to \pm\infty$ 時函數趨向於 $0$，所以 $\frac{256}{e^3}$ 確實為函數在整個定義域上的絕對最大值。

結論： 絕對最大值（Absolute maximum value）為 $\displaystyle \frac{256}{e^3}$（發生於 $x = \pm 2$ 處）。