1. 給定隱函數關係式 $y^5 + 5xy + 1 = 0$，要求在點 $(0, -1)$ 處的二階導數 $y''$。
2. 第一步：對等式兩側關於 $x$ 求導以求出一階導數 $y'$：
   • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( y^5 + 5xy + 1 \right) = 5y^4 y' + 5y + 5xy' = 0 \implies (y^4 + x)y' + y = 0$。
   • 將點 $(0, -1)$ 代入： $((-1)^4 + 0)y'(0) + (-1) = 0 \implies y'(0) - 1 = 0 \implies y'(0) = 1$。
3. 第二步：對已整理的乘積形式 $(y^4+x)y' + y = 0$ 再次求導以求出 $y''$（這比將 $y'$ 寫成分式再用商求導法則更為簡便且不易出錯）：
   • 再次求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (y^4+x)y' \right] + y' = (4y^3 y' + 1)y' + (y^4+x)y'' + y' = 0$
   • 代入已知數值 $x = 0, y = -1, y' = 1$ 即可求得 $y''$。

我們首先對隱函數等式 $y^5 + 5xy + 1 = 0$ 的兩側關於自變數 $x$ 求一階導數（將 $y$ 視為 $x$ 的函數，記作 $y'$）：

兩側同除以 $5$：

我們將點 $(x, y) = (0, -1)$ 代入式 (1) 中，以求出一階導數值 $y'$：

接下來，我們對式 (1) 的兩側再次關於 $x$ 求導以求得二階導數 $y''$。 利用乘積求導法則：

我們將已知數值 $x = 0, \ y = -1, \ y' = 1$ 代入式 (2) 中：

因此，在點 $(0, -1)$ 處的二階導數值為 $2$。

結論： $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 2$。