1. 本題要求參數曲線在點 $(0,0)$ 處的切線斜率。
2. 第一步：求解點 $(0,0)$ 對應的參數 $t$ 值：
   • 令 $x = t^3 + 1 = 0 \implies t^3 = -1 \implies t = -1$。
   • 將 $t = -1$ 代回 $y$ 檢驗： $y = (-1)^4 + (-1) = 1 - 1 = 0$，符合點座標。
   • 因此，此點對應參數為 $t = -1$。
3. 第二步：求參數曲線的一階導函數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$：
   • 根據參數方程求導公式： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$
   • 計算 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 4t^3 + 1$。
   • 計算 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3t^2$。
   • 導函數為： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{4t^3+1}{3t^2}$。
4. 第三步：代入 $t = -1$ 計算斜率。

我們首先求解點 $(x, y) = (0, 0)$ 所對應的參數 $t$ 值：

在實數範圍內，解得：

我們將 $t = -1$ 代入 $y$ 的方程式中進行驗證：

證實點 $(0, 0)$ 對應的參數為 $t = -1$。

接下來，我們使用參數方程求導公式來計算切線斜率 $m = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$：

對參數式分別關於 $t$ 求導：

• $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^4 + t\right) = 4t^3 + 1$
• $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^3 + 1\right) = 3t^2$

將其代回斜率公式：

將 $t = -1$ 代入以計算在 $(0, 0)$ 處的切線斜率：

結論： 在點 $(0, 0)$ 處的切線斜率為 $-1$。