本題分為兩個小問，分別求含有絕對值項的極限與 $1^\infty$ 未定型的冪指極限。

(1) 求解 $\lim_{x \to 2} \frac{|6x - 17| - |6x - 7|}{3x - 6}$

• 當 $x \to 2$ 時：
  • $6x - 17 \to 12 - 17 = -5 < 0$。因此，在 $x=2$ 附近， $|6x - 17| = -(6x - 17) = 17 - 6x$。
  • $6x - 7 \to 12 - 7 = 5 > 0$。因此，在 $x=2$ 附近， $|6x - 7| = 6x - 7$。
• 將絕對值去掉後，原式轉化為常規的有理分式極限，化簡求值。

(2) 求解 $\lim_{x \to 0} [\cos(2x)]^{1/x^2}$

• 當 $x \to 0$ 時，底數 $\cos 2x \to 1$，指數 $\frac{1}{x^2} \to \infty$，此為 $1^\infty$ 型未定式。
• 我們令 $y = [\cos(2x)]^{1/x^2}$，兩側取自然對數： $\ln y = \frac{\ln\cos 2x}{x^2}$
• 當 $x \to 0$ 時，此為 $\frac{0}{0}$ 型。
• 使用羅必達法則或等價無窮小代換求得對數的極限，進而求出原極限。

(1) 求解 $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{|6x - 17| - |6x - 7|}{3x - 6}$

我們分析絕對值項在自變數 $x \to 2$ 鄰域內的符號：

• 當 $x \to 2$ 時，有 $6x \to 12$，所以：
  • $6x - 17 \to -5 < 0 \implies |6x - 17| = -(6x - 17) = 17 - 6x$
  • $6x - 7 \to 5 > 0 \implies |6x - 7| = 6x - 7$

我們將絕對值符號去掉並代回原式：

約去非零項 $x-2$：

(2) 求解 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \cos(2x) \right]^{x^{-2}}$

令：

兩側取自然對數：

當 $x \to 0$ 時，分子為 $\ln(\cos 0) = \ln 1 = 0$，分母為 $0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。我們使用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）：

利用重要極限 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \implies \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，以及 $\lim_{x\to 0} \cos 2x = 1$：

因此，還原得到原極限值為：

結論：

• (1) 極限值為 $-4$
• (2) 極限值為 $e^{-2}$