1. 本題要在條件約束 $g(x,y) = 3x^{1/2} + 5y^{1/2} - 45 = 0$ 下，最大化目標函數 $P(x,y) = x^{1/3} y^{2/3}$。其中 $x > 0$ 與 $y > 0$。
2. 第一步：建立拉格朗日乘子方程式系統： $\nabla P = \lambda \nabla g$
   • 求偏導數： $\nabla P = \left\langle \frac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3}, \ \frac{2}{3}x^{1/3}y^{-1/3} \right\rangle$ $\nabla g = \left\langle \frac{3}{2}x^{-1/2}, \ \frac{5}{2}y^{-1/2} \right\rangle$
   • 建立方程組：
     1. $\frac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3} = \lambda \cdot \frac{3}{2}x^{-1/2}$
     2. $\frac{2}{3}x^{1/3}y^{-1/3} = \lambda \cdot \frac{5}{2}y^{-1/2}$
3. 第二步：兩式相除以消去 $\lambda$： $\frac{\frac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3}}{\frac{2}{3}x^{1/3}y^{-1/3}} = \frac{\frac{3}{2}\lambda x^{-1/2}}{\frac{5}{2}\lambda y^{-1/2}} \implies \frac{y}{2x} = \frac{3 y^{1/2}}{5 x^{1/2}}$ 因為 $x, y > 0$，可同除以 $y^{1/2}$ 與同乘 $x^{1/2}$： $\frac{y^{1/2}}{2 x^{1/2}} = \frac{3}{5} \implies 5 y^{1/2} = 6 x^{1/2} \implies x^{1/2} = \frac{5}{6} y^{1/2}$
4. 第三步：代入預算約束條件求解 $x$ 與 $y$：
   • 代入 $3 x^{1/2} + 5 y^{1/2} = 45$。
   • 求出 $y = 36$ 與 $x = 25$。

我們設定拉格朗日乘子法系統。 目標函數：

約束條件：

根據拉格朗日乘子法，最優解滿足偏導梯度平行：

我們對兩函數求偏導：

• $\displaystyle P_x = \frac{1}{3} x^{-2/3} y^{2/3}$， $\displaystyle P_y = \frac{2}{3} x^{1/3} y^{-1/3}$
• $\displaystyle g_x = \frac{3}{2} x^{-1/2}$， $\displaystyle g_y = \frac{5}{2} y^{-1/2}$

聯立方程組：

將式 (1) 除以式 (2) 以消去 $\lambda$：

化簡左側與右側分式：

因為 $x > 0$ 且 $y > 0$，我們將兩側同除以 $y^{1/2}$ 並同乘以 $x^{1/2}$ 整理得：

將式 (4) 代回預算約束條件式 (3)：

將 $y^{1/2} = 6$ 代回式 (4) 求 $x$：

因此，當資本投入 $x = 25$ 且勞動力投入 $y = 36$ 時，生產函數 $P(x, y)$ 達到最大值。

結論： 當 $x = 25, y = 36$ 時，生產函數 $P$ 取得最大值。