1. 本題要求二元函數 $f(x,y) = (4x^2+y^2)e^{-2x}$ 的所有臨界點與其局部極值屬性。
2. 第一步：求偏導函數，尋找臨界點 (Critical Points)：
   • $f_x = 8x e^{-2x} - 2(4x^2+y^2)e^{-2x} = 2(4x - 4x^2 - y^2)e^{-2x} = 0 \implies 4x^2 + y^2 - 4x = 0$。
   • $f_y = 2y e^{-2x} = 0 \implies y = 0$。
   • 聯立解得臨界點。
3. 第二步：求二階偏導，建立 Hessian 行列式判別式 $D(x,y)$：
   • $f_{xx} = 4(4x^2+y^2-8x+2)e^{-2x}$。
   • $f_{yy} = 2e^{-2x}$。
   • $f_{xy} = -4y e^{-2x}$。
   • 判別式為 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$。
4. 第三步：對各個臨界點代入判別：
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0 \implies$ 相對極小值。
   • 若 $D < 0 \implies$ 鞍點。

第一步：尋找臨界點（Critical Points）

我們計算偏導函數，並令其為零：

由於指數項 $e^{-2x} > 0$ 恆成立：

• 由式 (2) 得： $y = 0$。
• 將 $y = 0$ 代入式 (1)： $$4x - 4x^2 = 0 \implies 4x(1 - x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{或} \quad x = 1$$

因此，我們求得兩個臨界點為：

第二步：二階偏導數分析與黑塞矩陣判別

我們計算二階偏導數：

黑塞矩陣的判別式為：

我們對這兩個臨界點分別進行討論：

1. 對於臨界點 $P_1(0, 0)$： 代入偏導函數值：

   • $f_{xx}(0, 0) = 4(2)e^0 = 8$
   • $f_{yy}(0, 0) = 2e^0 = 2$
   • $f_{xy}(0, 0) = 0$ 計算判別式：
   $$D(0, 0) = (8)(2) - 0^2 = 16 > 0$$

   因為 $D > 0$ 且 $f_{xx}(0, 0) = 8 > 0$，所以函數在點 $(0, 0)$ 取得相對極小值（local minimum）。 極小值為：

   $$f(0, 0) = (4(0)^2 + 0^2)e^0 = 0$$

2. 對於臨界點 $P_2(1, 0)$： 代入偏導函數值：

   • $f_{xx}(1, 0) = 4(4(1)^2 + 0 - 8(1) + 2)e^{-2} = -8e^{-2}$
   • $f_{yy}(1, 0) = 2e^{-2}$
   • $f_{xy}(1, 0) = 0$ 計算判別式：
   $$D(1, 0) = \left( -8e^{-2} \right)\left( 2e^{-2} \right) - 0^2 = -16e^{-4} < 0$$

   因為判別式 $D < 0$，所以臨界點 $(1, 0)$ 為函數的鞍點（saddle point）。

結論：

• 臨界點 $(0, 0)$ 為相對極小值點，極小值為 $f(0, 0) = 0$。
• 臨界點 $(1, 0)$ 為鞍點。