本題求函數在 $x = 0$ 處的第 111 階高階導數值。利用麥克勞林展開式（Taylor 級數在 $0$ 處）的係數關係是最為簡潔且不易出錯的方法。 我們知道 Taylor 級數公式中， $x^n$ 項的係數為 $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \implies f^{(n)}(0) = a_n \cdot n!$。

(1) 求解 $f^{(111)}(0)$ 於 $f(x) = \sin(3x)$

• 正弦函數展開為： $\sin u = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k u^{2k+1}}{(2k+1)!}$。
• 令 $u = 3x$，則 $f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k 3^{2k+1} x^{2k+1}}{(2k+1)!}$。
• 我們尋找 $x^{111}$ 項（對應 $2k+1 = 111 \implies k = 55$）。
• 該項的係數為 $a_{111} = \frac{(-1)^{55} 3^{111}}{111!} = -\frac{3^{111}}{111!}$。
• 故 $f^{(111)}(0) = a_{111} \cdot 111! = -3^{111}$。

(2) 求解 $g^{(111)}(0)$ 於 $g(x) = \sin(x^3)$

• 令 $u = x^3$，則 $g(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (x^3)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{6k+3}}{(2k+1)!}$。
• 我們尋找 $x^{111}$ 項（對應 $6k+3 = 111 \implies 6k = 108 \implies k = 18$）。
• 該項的係數為 $a_{111} = \frac{(-1)^{18}}{(2(18)+1)!} = \frac{1}{37!}$。
• 故 $g^{(111)}(0) = a_{111} \cdot 111! = \frac{111!}{37!}$。

我們利用麥克勞林級數展開式中， $x^n$ 前的係數與高階導數的關係：

我們已知正弦函數的經典展開式為：

(1) 求解 $f^{(111)}(0)$ 於 $f(x) = \sin(3x)$

令 $u = 3x$ 代入展開式中：

為了得到第 111 階導數，我們尋找 $x^{111}$ 項，即令：

此時該項的係數 $a_{111}$ 為：

利用導數與係數的關係：

(2) 求解 $g^{(111)}(0)$ 於 $g(x) = \sin(x^3)$

令 $u = x^3$ 代入展開式中：

我們尋找 $x^{111}$ 項，即令：

此時該項的係數 $a_{111}$ 為：

利用導數與係數的關係：

結論：

• (1) $f^{(111)}(0) = -3^{111}$
• (2) $g^{(111)}(0) = \displaystyle \frac{111!}{37!}$