題目

Problem

6. Given the Taylor series of the function as below. Find the values of $c_1, c_2, c_3$ .

\sqrt[5]{32 + x} = 2 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots \quad (10\%)

解答

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本題給出 $f(x) = \sqrt[5]{32+x}$ 在 $x=0$ 處的泰勒展開式（麥克勞林展開），要求前三項係數 $c_1, c_2, c_3$ 。
我們可以利用經典的二項式級數 (Binomial Series) 進行極速展開： $(1+u)^p = 1 + p u + \frac{p(p-1)}{2!} u^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{3!} u^3 + \cdots$
第一步：將函數變形以匹配二項式級數： $f(x) = \sqrt[5]{32\left(1 + \frac{x}{32}\right)} = 2\left(1 + \frac{x}{32}\right)^{1/5}$
第二步：套用二項式展開公式，其中 $p = \frac{1}{5}$ , $u = \frac{x}{32}$ ： $\left(1 + \frac{x}{32}\right)^{1/5} = 1 + \frac{1}{5}\left(\frac{x}{32}\right) + \frac{\frac{1}{5}(-\frac{4}{5})}{2}\left(\frac{x}{32}\right)^2 + \frac{\frac{1}{5}(-\frac{4}{5})(-\frac{9}{5})}{6}\left(\frac{x}{32}\right)^3 + \cdots$ $= 1 + \frac{1}{160} x - \frac{2}{25} \cdot \frac{1}{1024} x^2 + \frac{6}{125} \cdot \frac{1}{32768} x^3 + \cdots$
第三步：同乘以 2，對比係數即可求出 $c_1, c_2, c_3$ 。

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我們將函數 $f(x) = \sqrt[5]{32+x}$ 整理為以下形式：

f(x) = \left( 32\left(1 + \frac{x}{32}\right) \right)^{1/5} = 2\left(1 + \frac{x}{32}\right)^{1/5}

根據二項式展開式，對於任意實數 $p$ 與 $|u| < 1$ ：

(1+u)^p = 1 + p u + \frac{p(p-1)}{2!} u^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{3!} u^3 + \cdots

此處我們令 $p = \frac{1}{5}$ 且 $u = \frac{x}{32}$ ：

\left(1 + \frac{x}{32}\right)^{1/5} = 1 + \frac{1}{5}\left(\frac{x}{32}\right) + \frac{\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}-1\right)}{2}\left(\frac{x}{32}\right)^2 + \frac{\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}-1\right)\left(\frac{1}{5}-2\right)}{6}\left(\frac{x}{32}\right)^3 + \cdots

我們對各項係數進行化簡：

一次項： $\frac{1}{5}\left(\frac{x}{32}\right) = \frac{1}{160} x$
二次項： $\frac{\frac{1}{5}\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}\left(\frac{x}{32}\right)^2 = -\frac{2}{25} \cdot \frac{x^2}{1024} = -\frac{1}{12800} x^2$
三次項： $\frac{\frac{1}{5}\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{9}{5}\right)}{6}\left(\frac{x}{32}\right)^3 = \frac{\frac{36}{125}}{6} \cdot \frac{x^3}{32768} = \frac{6}{125 \cdot 32768} x^3 = \frac{3}{2048000} x^3$

將此展開式代回原函數：

\begin{align*} f(x) =&\, 2 \left( 1 + \frac{1}{160} x - \frac{1}{12800} x^2 + \frac{3}{2048000} x^3 + \cdots \right) \\[4mm] =&\, 2 + \frac{1}{80} x - \frac{1}{6400} x^2 + \frac{3}{1024000} x^3 + \cdots \end{align*}

對比題目給定的展開式 $f(x) = 2 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$ ，我們得到：

c_1 = \frac{1}{80}, \quad c_2 = -\frac{1}{6400}, \quad c_3 = \frac{3}{1024000}

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根據泰勒級數係數公式，有 $c_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 。
我們需要求出 $f(x)$ $f (x)$ 的一階、二階與三階導函數，並求在 $x = 0$ $x = 0$ 處的值：
- $f(x) = (32+x)^{1/5} \implies f(0) = 2$ 。
- $f'(x) = \frac{1}{5}(32+x)^{-4/5} \implies f'(0) = \frac{1}{5}(2^{-4}) = \frac{1}{80}$ 。
- $f''(x) = \frac{1}{5}(-\frac{4}{5})(32+x)^{-9/5} \implies f''(0) = -\frac{4}{25}(2^{-9}) = -\frac{4}{25 \cdot 512} = -\frac{1}{3200}$ 。
- $f'''(x) = -\frac{4}{25}(-\frac{9}{5})(32+x)^{-14/5} \implies f'''(0) = \frac{36}{125}(2^{-14}) = \frac{36}{125 \cdot 16384} = \frac{9}{125 \cdot 4096} = \frac{9}{512000}$ 。
代入 $c_n$ 公式計算。

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根據麥克勞林級數（泰勒級數在 $x=0$ 處）的定義，係數為：

c_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

我們對 $f(x) = (32 + x)^{1/5}$ 進行逐項求導：

求 $c_1$ ：
$f'(x) = \frac{1}{5}(32 + x)^{-4/5} \implies f'(0) = \frac{1}{5}(32)^{-4/5} = \frac{1}{5}\left(2^5\right)^{-4/5} = \frac{1}{5}\left(2^{-4}\right) = \frac{1}{80}$$ $c_1 = \frac{f'(0)}{1!} = \frac{1}{80}$
求 $c_2$ ：
$f''(x) = \frac{1}{5}\left(-\frac{4}{5}\right)(32 + x)^{-9/5} = -\frac{4}{25}(32 + x)^{-9/5}$ $f''(0) = -\frac{4}{25}(32)^{-9/5} = -\frac{4}{25}\left(2^5\right)^{-9/5} = -\frac{4}{25}\left(2^{-9}\right) = -\frac{4}{25 \cdot 512} = -\frac{1}{3200}$ $c_2 = \frac{f''(0)}{2!} = \frac{-\frac{1}{3200}}{2} = -\frac{1}{6400}$
求 $c_3$ ：
$f'''(x) = -\frac{4}{25}\left(-\frac{9}{5}\right)(32 + x)^{-14/5} = \frac{36}{125}(32 + x)^{-14/5}$ $f'''(0) = \frac{36}{125}(32)^{-14/5} = \frac{36}{125}\left(2^5\right)^{-14/5} = \frac{36}{125}\left(2^{-14}\right) = \frac{36}{125 \cdot 16384} = \frac{9}{512000}$ $c_3 = \frac{f'''(0)}{3!} = \frac{\frac{9}{512000}}{6} = \frac{3}{1024000}$

結論：