1. 本題為廣義積分 $\int_3^\infty e^{-\sqrt{3x}} \,\mathrm{d}x$。
2. 指數包含根式 $\sqrt{3x}$，我們首先進行變數代換以消去根式。
3. 第一步：選取代換變數： 令 $u = \sqrt{3x} \implies u^2 = 3x \implies 2u\,\mathrm{d}u = 3\,\mathrm{d}x \implies \mathrm{d}x = \frac{2}{3}u\,\mathrm{d}u$。
4. 第二步：更換積分上下限：
   • 當 $x = 3 \implies u = \sqrt{9} = 3$。
   • 當 $x \to \infty \implies u \to \infty$。
   • 積分式化為： $I = \frac{2}{3} \int_3^\infty u e^{-u} \,\mathrm{d}u$
5. 第三步：利用平移變數將下限化為 0 並引入 Gamma 函數：
   • 令 $t = u - 3 \implies u = t + 3, \mathrm{d}u = \mathrm{d}t$。
   • 當 $u = 3 \implies t = 0$。
   • 積分變為： $I = \frac{2}{3} \int_0^\infty (t+3) e^{-(t+3)} \,\mathrm{d}t = \frac{2}{3}e^{-3} \int_0^\infty (t+3) e^{-t} \,\mathrm{d}t$ $= \frac{2}{3}e^{-3} \left( \int_0^\infty t e^{-t} \,\mathrm{d}t + 3 \int_0^\infty e^{-t} \,\mathrm{d}t \right)$
   • 利用 $\int_0^\infty t e^{-t} \,\mathrm{d}t = \Gamma(2) = 1$ 與 $\int_0^\infty e^{-t} \,\mathrm{d}t = \Gamma(1) = 1$。
   • 代入求得答案。

我們首先引入代換法，令：

更換積分限：

• 當 $x = 3$ 時， $u = \sqrt{3(3)} = 3$。
• 當 $x \to \infty$ 時， $u \to \infty$。

將其代回廣義積分中：

為了將下限化為 $0$ 以便使用伽瑪函數（Gamma Function）或分部積分，我們令：

此時當 $u = 3 \implies t = 0$。代入得：

利用伽瑪函數的性質：

• $\displaystyle \int_0^\infty t e^{-t} \,\mathrm{d}t = \Gamma(2) = 1! = 1$
• $\displaystyle \int_0^\infty e^{-t} \,\mathrm{d}t = \Gamma(1) = 0! = 1$

代入數值：

解法二：分部積分法（傳統做法）

思路

答題過程