1. 本題要求計算有理函數定積分 $\int_2^3 \frac{x}{x^2-5x+4} \,\mathrm{d}x$。
2. 被積函數分母可因式分解： $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$。
3. 我們可以使用部分分式展開法 (Partial Fraction Decomposition)： $\frac{x}{(x-1)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4}$
   • 利用留數法（Heaviside Cover-up Method）求 $A$ 與 $B$：
     • $A = \left. \frac{x}{x-4} \right|_{x=1} = -\frac{1}{3}$。
     • $B = \left. \frac{x}{x-1} \right|_{x=4} = \frac{4}{3}$。
4. 第一步：將被積函數展開： $\frac{x}{x^2-5x+4} = -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{4}{3(x-4)}$
5. 第二步：寫出原函數並計算定積分：
   • 原函數為 $-\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{4}{3}\ln|x-4|$。
   • 代入上限 3 與下限 2。

我們先將被積函數的分母因式分解：

接著，我們使用部分分式法（Partial Fractions）將分式拆解：

同乘分母 $(x-1)(x-4)$：

我們可以使用特殊值帶入法求常數 $A, B$：

• 令 $x = 1 \implies 1 = A(1 - 4) \implies 1 = -3A \implies A = -\frac{1}{3}$。
• 令 $x = 4 \implies 4 = B(4 - 1) \implies 4 = 3B \implies B = \frac{4}{3}$。

因此，被積分式可表示為：

現在我們對其進行定積分計算：

代入上限 $x = 3$ 與下限 $x = 2$：

由於 $\ln 1 = 0$：

結論： 定積分值為 $-\displaystyle \frac{5}{3}\ln 2$。