本題考察指數函數與冪指函數的求導。

(1) 求 $f'(2)$ 於 $f(x) = 2^{x^2}$

• 我們可以使用公式 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^{u(x)} = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$，或是先化為 $e$ 底數形式： $f(x) = e^{x^2 \ln 2}$ 求導得： $f'(x) = e^{x^2 \ln 2} \cdot (2x \ln 2) = 2^{x^2} \cdot 2x \ln 2$
• 代入 $x=2$ 計算。

(2) 求 $g'(2)$ 於 $g(x) = x^{2^x}$

• 由於底數與指數都包含變數 $x$，這是一個冪指函數，必須使用對數求導法或將其改寫成自然指數底 $e$ 形式： $g(x) = e^{\ln\left(x^{2^x}\right)} = e^{2^x \ln x}$
• 使用連鎖律與乘積法則求導： $g'(x) = e^{2^x \ln x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( 2^x \ln x \right) = x^{2^x} \left( 2^x\ln 2 \cdot \ln x + 2^x \cdot \frac{1}{x} \right)$
• 代入 $x=2$ 計算。

(1) 求解 $f'(2)$ 於 $f(x) = 2^{x^2}$

我們將函數改寫為以 $e$ 為底的自然指數形式：

使用連鎖律對其求導：

我們將 $x = 2$ 代入一階導函數：

(2) 求解 $g'(2)$ 於 $g(x) = x^{2^x}$

同樣地，我們將冪指函數改寫為以 $e$ 為底的自然指數形式：

利用連鎖律與乘積法則求導：

我們單獨計算括號內的導數：

因此導函數為：

現在，我們將 $x = 2$ 代入導函數中：

結論：

• (1) $f'(2) = 64\ln 2$
• (2) $g'(2) = 64(\ln 2)^2 + 32$