1. 當 $x \to 0$ 時，分子為 $\sqrt{3+\cos 0} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0$，分母為 $0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
2. 看到根式相減 $\sqrt{A} - B$，我們優先考慮共軛分子有理化。
3. 第一步：分子分母同乘共軛式 $\sqrt{3+\cos 3x} + 2$： $\frac{\sqrt{3+\cos 3x} - 2}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{3+\cos 3x} + 2}{\sqrt{3+\cos 3x} + 2} = \frac{(3+\cos 3x) - 4}{x^2(\sqrt{3+\cos 3x} + 2)} = \frac{\cos 3x - 1}{x^2(\sqrt{3+\cos 3x} + 2)}$
4. 第二步：分離極限並代換等價無窮小：
   • 當 $x \to 0$ 時， $\sqrt{3+\cos 3x} + 2 \to 4$，此項可以當作常數 $\frac{1}{4}$ 提出。
   • 剩下求 $\lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2}$。
   • 我們知道當 $u \to 0$ 時， $\cos u - 1 \approx -\frac{u^2}{2}$。
   • 此處令 $u = 3x \to 0 \implies \cos 3x - 1 \approx -\frac{(3x)^2}{2} = -\frac{9x^2}{2}$。
   • 代回計算極限即可。

原極限式在 $x \to 0$ 代入時為 $\frac{0}{0}$ 型。我們對分子進行有理化，分子分母同乘以其共軛項 $\sqrt{3 + \cos 3x} + 2$：

我們可以將極限拆分為兩部分：

• 第一部分： $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3 + \cos 3x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3 + \cos 0} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$
• 第二部分： 我們利用等價無窮小關係。當 $u \to 0$ 時， $1 - \cos u \approx \frac{1}{2}u^2 \implies \cos u - 1 \approx -\frac{1}{2}u^2$。 令 $u = 3x$，當 $x \to 0$ 時 $u \to 0$： $$\cos 3x - 1 \approx -\frac{1}{2}(3x)^2 = -\frac{9}{2}x^2$$ 代入第二部分極限： $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9}{2}x^2}{x^2} = -\frac{9}{2}$$

兩部分結果相乘得到最終極限：

結論： 極限值為 $-\displaystyle \frac{9}{8}$。