1. 本題要求計算二重積分 $\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \sqrt{x} \frac{\sin(y^2)}{y^2} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
2. 由於內層積分對 $y$ 含有 $\frac{\sin(y^2)}{y^2}$，這無法用初等函數積出來。這提示我們必須交換積分順序，先對 $x$ 進行積分。
3. 第一步：分析積分區域 $D$：
   • 給定區域： $0 \le x \le 4$ 且 $\sqrt{x} \le y \le 2$。
   • 其邊界為： $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$，以及 $y = 2$ 與 $x = 0$。
   • 將區域改寫為先積 $x$ 的形式：外層 $y$ 從 $0$ 到 $2$ 變化；內層 $x$ 從左邊界 $x=0$ 變化到右邊界 $x=y^2$。
   • 新區域表示： $0 \le y \le 2$ 且 $0 \le x \le y^2$。
4. 第二步：重寫二重積分並進行計算： $I = \int_0^2 \int_0^{y^2} \sqrt{x} \frac{\sin(y^2)}{y^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^2 \frac{\sin(y^2)}{y^2} \left( \int_0^{y^2} x^{1/2} \,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y$
5. 第三步：先積內層 $x$ 並化簡： $\int_0^{y^2} x^{1/2} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^{y^2} = \frac{2}{3} y^3$
6. 第四步：代回外層求單變數定積分： $\frac{2}{3} \int_0^2 y \sin(y^2) \,\mathrm{d}y$ 利用代換法 $u = y^2$ 求解。

我們首先分析給定積分的區域 $D$：

此區域在第一象限內，被拋物線 $y = \sqrt{x}$（即 $x = y^2$）、 $y$ 軸（$x = 0$）與水平線 $y = 2$ 所圍成。

為了能夠積出該式，我們必須交換積分順序。 將其改寫為先對 $x$ 積分、再對 $y$ 積分：

• 縱向來看， $y$ 的變化範圍為 $0$ 到 $2$。
• 對於每一個固定的 $y$， $x$ 的橫向變化範圍為從左側邊界 $x = 0$ 到右側拋物線邊界 $x = y^2$。 因此新區域表示為：

重寫為新的累次積分：

我們先計算內層關於 $x$ 的積分：

將內層積分結果代回外層：

我們使用代換積分法。令：

更換積分界限：

• 當 $y = 0 \implies u = 0$。
• 當 $y = 2 \implies u = 4$。

代入得：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{1}{3}(1 - \cos 4)$。