題目

Problem

Given function $f(x) = (x^2 - x + 1)^{100}$ . (1) Find the first derivative $f'(0)$ . (5%) (2) Find the second derivative $f''(0)$ . (5%)

解答

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(1) 計算一階導數 $f'(0)$ ：
- 函數為 $f(x) = (x^2-x+1)^{100}$ 。
- 使用連鎖律 (Chain Rule) 進行求導： $f'(x) = 100(x^2 - x + 1)^{99} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 - x + 1) = 100(x^2 - x + 1)^{99}(2x - 1)$
- 代入 $x = 0$ 求解。
(2) 計算二階導數 $f''(0)$ ：
- 對 $f'(x) = 100(x^2 - x + 1)^{99}(2x - 1)$ 再次求導。
- 使用乘積求導法則 (Product Rule) 與連鎖律： $f''(x) = 100 \left[ 99(x^2 - x + 1)^{98}(2x - 1)^2 + (x^2 - x + 1)^{99}(2) \right]$
- 代入 $x = 0$ 求解。

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(1) 求解一階導數 $f'(0)$

我們利用連鎖律（Chain Rule）求出函數 $f(x) = (x^2 - x + 1)^{100}$ 的一階導函數：

f'(x) = 100(x^2 - x + 1)^{99} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 - x + 1) = 100(x^2 - x + 1)^{99}(2x - 1)

我們將 $x = 0$ 代入一階導函數中：

f'(0) = 100(0^2 - 0 + 1)^{99}(2 \cdot 0 - 1) = 100(1)^{99}(-1) = -100

(2) 求解二階導數 $f''(0)$

我們對一階導函數 $f'(x) = 100(x^2 - x + 1)^{99}(2x - 1)$ 套用乘積求導法則（Product Rule）：

\begin{align*} f''(x) =&\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ 100(x^2 - x + 1)^{99}(2x - 1) \right] \\[2mm] =&\, 100 \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (x^2 - x + 1)^{99} \right] (2x - 1) + (x^2 - x + 1)^{99} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x - 1) \right) \\[2mm] =&\, 100 \left( 99(x^2 - x + 1)^{98}(2x - 1) \cdot (2x - 1) + (x^2 - x + 1)^{99}(2) \right) \\[2mm] =&\, 100 \left( 99(x^2 - x + 1)^{98}(2x - 1)^2 + 2(x^2 - x + 1)^{99} \right) \end{align*}

我們將 $x = 0$ 代入二階導函數中：

\begin{align*} f''(0) =&\, 100 \left( 99(0^2 - 0 + 1)^{98}(2 \cdot 0 - 1)^2 + 2(0^2 - 0 + 1)^{99} \right) \\[2mm] =&\, 100 \left( 99(1)^{98}(-1)^2 + 2(1)^{99} \right) \\[2mm] =&\, 100 \left( 99 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \right) \\[2mm] =&\, 100 \left( 99 + 2 \right) = 100(101) = 10100 \end{align*}

結論：