1. 本題要求計算二重積分 $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
2. 被積函數包含 $\sqrt{x^2+y^2}$，且積分區域邊界含有圓弧。這強烈提示我們應使用極座標變換 (Polar Coordinates)。
3. 第一步：分析積分區域 $D$ 的邊界：
   • 區域為： $0 \le x \le 1$，且對於固定的 $x$， $0 \le y \le \sqrt{x-x^2}$。
   • 邊界曲線為 $y = \sqrt{x-x^2} \implies y^2 = x - x^2 \implies x^2 + y^2 = x$（由於 $y \ge 0$，這是一個位於 $x$ 軸上方、圓心在 $(1/2, 0)$、半徑為 $1/2$ 的半圓）。
4. 第二步：轉換為極座標方程式：
   • $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, \mathrm{d}y\mathrm{d}x = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
   • 邊界圓為 $r^2 = r\cos\theta \implies r = \cos\theta$。
   • 極角範圍：此半圓位於第一象限，所以 $\theta$ 從 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
   • 對於每個固定的 $\theta$，極半徑 $r$ 從 $0$ 變化到圓邊界 $r = \cos\theta$。
   • 故極座標區域為： $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \ 0 \le r \le \cos\theta$。
5. 第三步：寫出新累次積分並求解： $I = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} r \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_0^{\pi/2} \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_0^{\cos\theta} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \,\mathrm{d}\theta$ 利用常用公式或 Wallis 公式計算餘弦奇數次方積分。

我們首先分析積分區域 $D$：

區域的上方邊界為：

這是一個以 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 為圓心、半徑為 $\frac{1}{2}$ 的圓。因為 $y \ge 0$，故此區域代表該圓位於第一象限的半圓區域。

我們引入極座標變換：

此時被積函數為：

邊界圓的極座標方程式為：

由於區域落在第一象限，極角 $\theta$ 的範圍為：

對於每一個固定的角度 $\theta$，極半徑 $r$ 的變化範圍為：

代入極座標二重積分公式，寫為累次積分：

為求解此單變數積分，我們使用三角恆等式 $\cos^3\theta = \cos\theta(1 - \sin^2\theta)$ 進行換元（令 $u = \sin\theta \implies \mathrm{d}u = \cos\theta\,\mathrm{d}\theta$）：

因此，二重積分的值為：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{4}{9}$。