1. 本題要求空間曲線的弧長。
2. 第一步：求參數 $t$ 的起點與終點：
   • 曲線的參數方程式為 $x = \cos 2t$, $y = \sin 2t$, $z = t$。
   • 起點為 $(1, 0, 0) \implies z = t = 0$。
   • 終點為 $(1, 0, \pi) \implies z = t = \pi$。
   • 因此，參數 $t$ 範圍為 $t \in [0, \pi]$。
3. 第二步：求導向量 $\mathbf{r}'(t)$ 與速率 $\|\mathbf{r}'(t)\|$：
   • $\mathbf{r}'(t) = \langle -2\sin 2t, 2\cos 2t, 1 \rangle$。
   • $\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(-2\sin 2t)^2 + (2\cos 2t)^2 + 1^2} = \sqrt{4\sin^2 2t + 4\cos^2 2t + 1} = \sqrt{4(1)+1} = \sqrt{5}$。
4. 第三步：利用定積分求弧長： $L = \int_0^\pi \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t = \int_0^\pi \sqrt{5} \,\mathrm{d}t = \sqrt{5}\pi$

首先，我們確定積分的上限與下限。 給定曲線向量值函數：

對應參數式：

對比給定點的座標：

• 起點 $(1, 0, 0)$： 由 $z = t = 0$，此時 $x(0) = \cos 0 = 1$ 且 $y(0) = \sin 0 = 0$，符合起點座標。故下限 $a = 0$。
• 終點 $(1, 0, \pi)$： 由 $z = t = \pi$，此時 $x(\pi) = \cos(2\pi) = 1$ 且 $y(\pi) = \sin(2\pi) = 0$，符合終點座標。故上限 $b = \pi$。

接下來，對向量值函數求導數以求出切向量：

計算其速率（即切向量模長）：

帶入曲線弧長積分公式：

結論： 弧長為 $\sqrt{5}\pi$。