1. 梯度與方向導數的性質：
   • 函數 $f(x,y)$ 增加最快的方向是其梯度向量 $\nabla f(x,y)$，增加率為梯度模長 $\|\nabla f\|$。
   • 函數 $f(x,y)$ 減少最快的方向是其負梯度向量 $-\nabla f(x,y)$，減少速率（減少率）同樣為 $\|\nabla f\|$（若以負號表示變化率，則為 $-\|\nabla f\|$）。
2. 第一步：求出偏導與梯度向量：
   • $f(x,y) = \ln(xy) = \ln x + \ln y$ (在 $x, y > 0$ 時)。
   • $\nabla f(x,y) = \langle f_x, f_y \rangle = \left\langle \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right\rangle$。
3. 第二步：計算在點 $(1,2)$ 的梯度值與模長：
   • $\nabla f(1,2) = \left\langle 1, \frac{1}{2} \right\rangle$。
   • 模長為： $\|\nabla f(1,2)\| = \sqrt{1^2 + (1/2)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
4. 第三步：求出最速下降方向的單位向量與下降速率：
   • 最速下降方向為負梯度方向： $-\nabla f(1,2) = \left\langle -1, -\frac{1}{2} \right\rangle$。
   • 其單位向量為： $\mathbf{u} = \frac{-\nabla f}{\|\nabla f\|} = \left\langle -\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle$。
   • 下降的速率（即最大減少率）為梯度模長： $\frac{\sqrt{5}}{2}$（此時變化率為 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$）。

根據多變數微積分的性質，對於可微函數 $f(x, y)$：

• 函數增加最快的方向為梯度向量 $\nabla f$。
• 函數減少最快的方向為負梯度向量 $-\nabla f$。
• 最大減少速率為梯度向量的模長 $\|\nabla f\|$。

我們首先在第一象限（包含點 $(1,2)$）簡化函數：

計算其一階偏導數以取得梯度向量：

所以梯度向量為：

將點 $(1, 2)$ 代入梯度中：

1. 最速下降方向： 為負梯度向量 $-\nabla f(1, 2)$：

   $$-\nabla f(1, 2) = \left\langle -1,\, -\frac{1}{2} \right\rangle$$

   我們通常將其化為單位方向向量 $\mathbf{u}$：

   $$\|\nabla f(1, 2)\| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$\mathbf{u} = \frac{-\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} = \frac{\langle -1,\, -1/2 \rangle}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \left\langle -\frac{2}{\sqrt{5}},\, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle$$

2. 最速下降速率： 即為梯度模長（表示為正值下降率）：

   $$\text{Rate of decrease} = \|\nabla f(1, 2)\| = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

   (註：若問變化率，則變化率為 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$。)

結論：

• 最速下降方向為 $\displaystyle \left\langle -\frac{2}{\sqrt{5}},\, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle$（或向量 $\displaystyle \left\langle -1,\, -\frac{1}{2} \right\rangle$ 及其正實數倍方向）。
• 下降速率為 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$。