1. 定義一般項： 設級數一般項為 $a_n(x) = \frac{x^n}{\sqrt{n}}$。
2. 第一步：使用比值審斂法尋找收斂半徑 $R$： $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{x^n} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = |x|$ 為使級數絕對收斂，必須滿足 $|x| < 1$，所以收斂半徑 $R = 1$。
3. 第二步：分析兩個邊界端點的收斂性：
   • 端點 $x = -1$：原級數化為 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，這是一個交錯級數，可用交錯級數審斂法判斷。
   • 端點 $x = 1$：原級數化為 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$，這是一個 $p$ 級數，可用 $p$ 級數審斂法判斷。
4. 第三步：結合端點結論寫出收斂區間。

設冪級數的第 $n$ 項為：

我們套用比值審斂法（Ratio Test），計算項與項之間比值的極限：

為使冪級數收斂，必須滿足此比值小於 $1$：

這表示級數的收斂半徑為 $R = 1$，在開區間 $(-1, 1)$ 內絕對收斂。

接下來，我們需要個別檢驗端點 $x = -1$ 與 $x = 1$ 處級數的斂散性：

1. 當 $x = -1$ 時： 代回原級數中，級數為：

   $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$

   此為一個交錯級數。令 $u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$。我們檢驗交錯級數審斂法（Leibniz Test）的兩個條件：

   • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ （滿足條件一）
   • 數列 $u_n$ 為單調遞減，即 $u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} = u_n$ （滿足條件二）

   因此，級數在 $x = -1$ 處收斂（為條件收斂）。

2. 當 $x = 1$ 時： 代回原級數中，級數為：

   $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$$

   這是一個 $p$ 級數，其中 $p = \frac{1}{2}$。 因為 $p = \frac{1}{2} \le 1$，根據 $p$ 級數審斂法，該級數在 $x = 1$ 處發散。

綜合上述端點的討論，該冪級數的收斂範圍在左側包含 $x = -1$，在右側不包含 $x = 1$。

結論： 收斂區間為 $[-1, 1)$。