1. 給定廣義（反常）積分 $\int_0^1 x \ln x \,\mathrm{d}x$。因為當 $x \to 0^+$ 時 $\ln x \to -\infty$，所以 $x=0$ 為瑕點。
2. 我們需要計算極限： $I = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x \ln x \,\mathrm{d}x$
3. 第一步：使用分部積分法計算不定積分：
   • 令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$。
   • 令 $\mathrm{d}v = x\,\mathrm{d}x \implies v = \frac{1}{2}x^2$。
   • 不定積分為： $\int x \ln x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C$
4. 第二步：帶入定積分界限並求極限：
   • 上限 $x = 1$：值為 $\frac{1}{2}(1)^2\ln 1 - \frac{1}{4}(1)^2 = -\frac{1}{4}$。
   • 下限 $x \to 0^+$ 的極限：需要利用羅必達法則求解 $\lim_{t\to 0^+} t^2 \ln t = 0$。

由於被積函數在 $x = 0$ 處無定義（$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$），此為瑕積分。我們將其寫成極限形式：

我們先計算不定積分 $\int x \ln x \,\mathrm{d}x$。 採用分部積分法，令：

則：

將此原函數代回定積分式：

接下來，我們求解當 $t \to 0^+$ 時的極限。首先計算關鍵項 $\lim_{t \to 0^+} t^2 \ln t$： 此為 $0 \cdot (-\infty)$ 型未定式，我們將其改寫為 $\frac{-\infty}{\infty}$ 型並使用羅必達法則：

另外，顯然有 $\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{4} t^2 = 0$。

因此，瑕積分的值為：

結論： 反常積分值為 $-\displaystyle \frac{1}{4}$。