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113 台綜大微積分(A) 第 4 題

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113學年度 · 113微積分A · 第 4 題

題目

Problem

4. Evaluate the integral

∫01/21−4x2 dx .(10%)\int_0^{1/2} \sqrt{1 - 4x^2} \,\mathrm{d}x \,. \quad (10\%)

解答

解法一：橢圓幾何面積法（最速法）

思路

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  1. 本題求 ∫01/21−4x2 dx\int_0^{1/2} \sqrt{1-4x^2} \,\mathrm{d}x。
  2. 我們可以從幾何圖形的角度來理解這個定積分： 令 y=1−4x2  ⟹  y2=1−4x2  ⟹  4x2+y2=1y = \sqrt{1-4x^2} \implies y^2 = 1 - 4x^2 \implies 4x^2 + y^2 = 1 （其中 y≥0y \ge 0）。 這是一個半正半軸長分別為 a=12a = \frac{1}{2} （在 xx 軸上）與 b=1b = 1 （在 yy 軸上）的上半橢圓。
  3. 積分範圍為 x∈[0,1/2]x \in [0, 1/2]，此範圍正好是整個橢圓在第一象限的部分。
  4. 根據橢圓面積公式 A=πabA = \pi a b，此積分值恰為橢圓總面積的 14\frac{1}{4}。 I=14π(12)(1)=π8I = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{2}\right) (1) = \frac{\pi}{8}

答題過程

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我們令：

y=1−4x2y = \sqrt{1 - 4x^2}

因為根式恆大於等於零，故 y≥0y \ge 0。對兩側平方整理得：

y2=1−4x2  ⟹  4x2+y2=1  ⟹  x2(1/2)2+y212=1y^2 = 1 - 4x^2 \implies 4x^2 + y^2 = 1 \implies \frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1

這代表一個半長軸 b=1b = 1（沿 yy 軸）、半短軸 a=12a = \frac{1}{2}（沿 xx 軸）的橢圓。

定積分 ∫01/21−4x2 dx\displaystyle \int_0^{1/2} \sqrt{1 - 4x^2} \,\mathrm{d}x 所代表的幾何意義，是該橢圓在第一象限內（0≤x≤12, y≥00 \le x \le \frac{1}{2}, \ y \ge 0）圍成的面積。 由於這恰好是整個橢圓面積的 14\frac{1}{4}，利用橢圓面積公式 S=πabS = \pi a b：

∫01/21−4x2 dx=14(π⋅a⋅b)=14(π⋅12⋅1)=π8\int_0^{1/2} \sqrt{1 - 4x^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{4} \left( \pi \cdot a \cdot b \right) = \frac{1}{4} \left( \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{\pi}{8}

解法二：三角代換法（傳統做法）

思路

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  1. 對於含根式 1−4x2=1−(2x)2\sqrt{1-4x^2} = \sqrt{1-(2x)^2} 的積分，我們可以使用三角代換。
  2. 令 2x=sin⁡u  ⟹  x=12sin⁡u  ⟹  dx=12cos⁡u du2x = \sin u \implies x = \frac{1}{2}\sin u \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\cos u \,\mathrm{d}u。
  3. 更換上下限：
    • 當 x=0  ⟹  sin⁡u=0  ⟹  u=0x = 0 \implies \sin u = 0 \implies u = 0。
    • 當 x=1/2  ⟹  sin⁡u=1  ⟹  u=π2x = 1/2 \implies \sin u = 1 \implies u = \frac{\pi}{2}。
  4. 被積式化簡為： 1−sin⁡2u=cos⁡u\sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u。
  5. 累次積分後利用倍角公式求解。

答題過程

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我們採用三角換元法，令：

2x=sin⁡u  ⟹  x=12sin⁡u  ⟹  dx=12cos⁡u du2x = \sin u \implies x = \frac{1}{2}\sin u \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\cos u\,\mathrm{d}u

變更積分界限：

  • 當 x=0x = 0 時， sin⁡u=0  ⟹  u=0\sin u = 0 \implies u = 0。
  • 當 x=12x = \frac{1}{2} 時， sin⁡u=1  ⟹  u=π2\sin u = 1 \implies u = \frac{\pi}{2}。

代回原積分式中，並利用恆等式 1−sin⁡2u=cos⁡u\sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u（因為 u∈[0,π/2]u \in [0, \pi/2] 時餘弦為正）：

∫01/21−4x2 dx= ∫0π21−sin⁡2u⋅(12cos⁡u du)= 12∫0π2cos⁡2u du\begin{align*} \int_0^{1/2} \sqrt{1 - 4x^2} \,\mathrm{d}x =&\, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin^2 u} \cdot \left( \frac{1}{2}\cos u \,\mathrm{d}u \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \,\mathrm{d}u \end{align*}

利用半角公式 cos⁡2u=1+cos⁡2u2\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}：

12∫0π2cos⁡2u du= 14∫0π2(1+cos⁡2u) du= 14[u+12sin⁡2u]0π2= 14((π2+0)−0)=π8\begin{align*} \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \,\mathrm{d}u =&\, \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2u) \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \left[ u + \frac{1}{2}\sin 2u \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \left( \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - 0 \right) = \frac{\pi}{8} \end{align*}

結論： 積分值為 π8\displaystyle \frac{\pi}{8}。