1. 本題要求連續函數 $f(x) = \frac{x}{x^2-x+1}$ 在閉區間 $[-2, 0]$ 上的絕對最大值與絕對最小值。
2. 根據閉區間極值定理（Extreme Value Theorem），絕對極值必發生在「區間內的臨界點」或「區間的端點」。
3. 第一步：求一階導函數以找出臨界點：
   • 使用商求導法則： $f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-x+1) - x(2x-1)}{(x^2-x+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2-x+1)^2}$
   • 令 $f'(x) = 0 \implies -x^2 + 1 = 0 \implies x = \pm 1$。
4. 第二步：篩選落在給定區間 $[-2, 0]$ 內的臨界點：
   • 只有 $x = -1$ 屬於區間 $[-2, 0]$。 $x = 1$ 不在區間內，捨去。
5. 第三步：計算並比較端點與臨界點的函數值：
   • 端點值： $f(-2)$ 與 $f(0)$。
   • 臨界點值： $f(-1)$。
   • 比較大小即可得出最大與最小值。

首先，我們尋找函數在區間 $[-2, 0]$ 內的一階導數與臨界點。 使用商求導法則（Quotient Rule）：

我們令 $f'(x) = 0$ 以尋找臨界點：

因為定義域限制在閉區間 $[-2, 0]$，我們僅保留落在區間內的臨界點：

• $x = -1$ （保留）
• $x = 1$ （不屬於 $[-2, 0]$，捨去）

接下來，我們分別計算端點 $x = -2, 0$ 以及臨界點 $x = -1$ 處的函數值：

1. 在端點 $x = -2$ 處： $$f(-2) = \frac{-2}{(-2)^2 - (-2) + 1} = \frac{-2}{4 + 2 + 1} = -\frac{2}{7}$$
2. 在端點 $x = 0$ 處： $$f(0) = \frac{0}{0^2 - 0 + 1} = 0$$
3. 在臨界點 $x = -1$ 處： $$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{-1}{1 + 1 + 1} = -\frac{1}{3}$$

我們比較這三個函數值：

• 顯然，最大值為 $0$。
• 比較 $-\frac{1}{3}$ 與 $-\frac{2}{7}$： 因為 $-\frac{1}{3} = -\frac{7}{21}$ 且 $-\frac{2}{7} = -\frac{6}{21}$，所以 $-\frac{1}{3} < -\frac{2}{7}$。 故最小值為 $-\frac{1}{3}$。

結論：

• 絕對最大值（Absolute maximum）為 $0$（發生於 $x = 0$）。
• 絕對最小值（Absolute minimum）為 $-\displaystyle \frac{1}{3}$（發生於 $x = -1$）。