1. 本題要求計算向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \left\langle \frac{y}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2} \right\rangle$ 沿著逆時針橢圓軌道 $C$ 的第二類線積分。
2. 觀察被積函數，在原點 $(0,0)$ 處存在未定義的奇異點。
3. 我們計算偏導數以檢驗無旋性： $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{x}{x^2+y^2} \right) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x^2+y^2} \right) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ 在除原點 $(0,0)$ 外的所有點上， $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 恆成立。
4. 由於橢圓 $C$： $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 包圍了奇異點 $(0,0)$，我們不能直接對橢圓內部使用格林定理。
5. 路徑變形定理 (Deformation Theorem)： 我們可以將複雜的橢圓路徑 $C$ 變形為一個包圍原點、半徑為 $r$ 的逆時針同心圓路徑 $C_r$。兩者在除去原點的區域內是同倫的，因此其線積分值完全相同： $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \oint_{C_r} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y$
6. 極座標參數化計算圓圈積分：
   • 令 $C_r : x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$。
   • $\mathrm{d}x = -r\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$， $\mathrm{d}y = r\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$。
   • 代入極速求解。

我們令向量場的分量為：

該向量場在原點 $(0,0)$ 處未定義（奇異點）。在所有非原點 $(x, y) \neq (0, 0)$ 的區域，我們計算其偏導數：

因為在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 內 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，該場在原點外是無旋的。

由於逆時針橢圓路徑 $C: 4x^2 + 9y^2 = 36 \implies \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的內部包圍了原點 $(0,0)$，根據路徑無關與變形定理，我們可以將此橢圓路徑 $C$ 變形為一個包圍原點、半徑為 $a > 0$ 的逆時針小圓路徑 $C_a$（其中 $a$ 小於橢圓短半軸 $2$，保證圓完全在橢圓內部）：

我們將小圓 $C_a$ 參數化：

對應的微分項為：

且在 $C_a$ 上有 $x^2 + y^2 = a^2$。

將其代回線積分：

因此，沿橢圓軌道的線積分值亦為 $-2\pi$。

結論： 線積分的值為 $-2\pi$。