1. 本題要分別求 $x$ 趨近於 $1$ 的左右極限。
2. 被積式（或極限式）分子含有絕對值 $|x^2-1|$。去絕對值的關鍵在於判斷 $x^2-1$ 在 $x\to 1^\pm$ 附近的符號：
   • 當 $x \to 1^+$ 時： $x > 1 \implies x^2 > 1 \implies x^2 - 1 > 0$。因此 $|x^2 - 1| = x^2 - 1$。
   • 當 $x \to 1^-$ 時： $x < 1$（且足夠接近 $1$） $\implies x^2 < 1 \implies x^2 - 1 < 0$。因此 $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1)$。
3. 第一步：計算右極限： $\lim_{x\to 1^+} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^+} (x+1) = 2$
4. 第二步：計算左極限： $\lim_{x\to 1^-} \frac{-(x^2-1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^-} \frac{-(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^-} -(x+1) = -2$

我們先將分子中的二次項進行因式分解：

因此絕對值項可寫為：

我們分別討論 $x \to 1^+$ 與 $x \to 1^-$ 的情況：

1. 對於右極限 $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$： 當 $x > 1$ 時，有 $x - 1 > 0 \implies |x - 1| = x - 1$，且 $x + 1 > 0 \implies |x + 1| = x + 1$。 因此：

   $$\lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 1)$$

   代入 $x = 1$：

   $$\lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

2. 對於左極限 $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$： 當 $x < 1$ 時，有 $x - 1 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1)$，而 $x + 1 > 0 \implies |x + 1| = x + 1$。 因此：

   $$\lim_{x \to 1^-} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 1)$$

   代入 $x = 1$：

   $$\lim_{x \to 1^-} -(x + 1) = -(1 + 1) = -2$$

結論：

• $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = 2$
• $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = -2$