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112 台綜大微積分(C) 第 9 題

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112學年度 · 112微積分C · 第 9 題

題目

Problem

9. Evaluate

∮C(y2+sin⁡x) dx+(3xy−ey) dy ,\oint_C (y^2 + \sin x)\,\mathrm{d}x + (3xy - e^y)\,\mathrm{d}y \,,

where CC is the boundary of the semiannual region DD in the upper half-plane between the circles x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 and x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. (10%)
(註：原卷英文將半圓環 “semiannular” 誤植為 “semiannual”，在此特予說明。)

解答

解法一

思路

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  1. 本題要求計算平面閉曲線的線積分 ∮CP dx+Q dy\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y。
  2. 由於積分曲線 CC 是上半平面夾在兩圓 x2+y2=4x^2+y^2=4 與 x2+y2=9x^2+y^2=9 之間的半圓環區域的邊界（已封閉），這強烈提示我們使用格林定理 (Green’s Theorem)。
  3. 第一步：應用格林定理：

ight) \mathrm{d}x\mathrm{d}y 其中 $P = y^2 + \sin x$、 $Q = 3xy - e^y$。 計算偏導數差值： $ rac{\partial Q}{\partial x} - rac{\partial P}{\partial y} = 3y - 2y = y$。 4. **第二步：在極座標下計算二重積分 $\iint_D y \,\mathrm{d}A$**： 半圓環區域的極座標範圍： 0 \le heta \le \pi, \quad 2 \le r \le 3$$ 將 y=rsin⁡hetay = r\sin heta 代入，寫成累次積分求解即可。

答題過程

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設被積函數分量為：

P(x,y)=y2+sin⁡x,Q(x,y)=3xy−eyP(x, y) = y^2 + \sin x, \quad Q(x, y) = 3xy - e^y

根據格林定理，此線積分可轉化為其圍成區域 DD 上的二重積分：

\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( rac{\partial Q}{\partial x} - rac{\partial P}{\partial y} ight) \mathrm{d}x\mathrm{d}y

計算對應的偏導數：

rac{\partial Q}{\partial x} = rac{\partial}{\partial x}(3xy - e^y) = 3y, \quad rac{\partial P}{\partial y} = rac{\partial}{\partial y}(y^2 + \sin x) = 2y

因此：

rac{\partial Q}{\partial x} - rac{\partial P}{\partial y} = 3y - 2y = y

我們引入極座標系來描述半圓環區域 DD：

x=rcos⁡heta,y=rsin⁡heta,dxdy=r drdhetax = r\cos heta, \quad y = r\sin heta, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d} heta

其極座標界限為：

0≤heta≤π,2≤r≤30 \le heta \le \pi, \quad 2 \le r \le 3

代入二重積分計算：

egin{align*} I =&\, \iint_D y \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \[4mm] =&\, \int_0^{\pi} \int_2^3 (r\sin heta) \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, \left( \int_0^{\pi} \sin heta \,\mathrm{d} heta ight) \left( \int_2^3 r^2 \,\mathrm{d}r ight) \[4mm] =&\, \left[ -\cos heta ight]_0^{\pi} \cdot \left[ rac{1}{3}r^3 ight]_2^3 \[4mm] =&\, (1 - (-1)) \cdot rac{1}{3} (3^3 - 2^3) \[4mm] =&\, 2 \cdot rac{1}{3} (27 - 8) \[4mm] =&\, 2 \cdot rac{19}{3} = rac{38}{3} \,. \end{align*}