題目

Problem

8. Evaluate

\iiint_B e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \,\mathrm{d}V \,,

where $B = \{ (x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \}$ is the unit ball. (10%)

解答

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本題要求在單位球體 $B$ 上計算三重積分 $\iiint_B e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \,\mathrm{d}V$ 。
積分區域是球體，且被積函數中包含 $x^2+y^2+z^2$ 。這提示我們應使用球面座標變換 (Spherical Coordinates)。
第一步：換元：
- $x^2 + y^2 + z^2 = ho^2$ 。
- 體積微元 $\mathrm{d}V = ho^2 \sin\phi\,\mathrm{d} ho\mathrm{d} heta\mathrm{d}\phi$ 。
第二步：確定積分範圍：整個單位球對應的範圍為： $0 \le ho \le 1, \ 0 \le heta \le 2\pi, \ 0 \le \phi \le \pi$ 。
第三步：進行累次積分：將三部分分拆進行積分計算，其中 $ho$ 的部分利用 $u = ho^3$ 進行代換。

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我們引入球面座標系：

x = ho\sin\phi\cos heta, \quad y = ho\sin\phi\sin heta, \quad z = ho\cos\phi

其中：

x^2 + y^2 + z^2 = ho^2, \quad \mathrm{d}V = ho^2 \sin\phi\,\mathrm{d} ho\mathrm{d} heta\mathrm{d}\phi

對於整個單位球體 $B$ ，球面座標的範圍為：

0 \le ho \le 1, \quad 0 \le heta \le 2\pi, \quad 0 \le \phi \le \pi

將其寫為累次積分形式：

egin{align*} \iiint_B e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \,\mathrm{d}V =&\, \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 e^{( ho^2)^{3/2}} \cdot ho^2 \sin\phi \,\mathrm{d} ho\mathrm{d}\phi\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 e^{ ho^3} ho^2 \sin\phi \,\mathrm{d} ho\mathrm{d}\phi\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, \left( \int_0^{2\pi} \mathrm{d} heta ight) \left( \int_0^{\pi} \sin\phi \,\mathrm{d}\phi ight) \left( \int_0^1 e^{ ho^3} ho^2 \,\mathrm{d} ho ight) \end{align*}

我們分別計算這三個獨立的積分項：

$\int_0^{2\pi} \mathrm{d} heta = 2\pi$
$\int_0^{\pi} \sin\phi \,\mathrm{d}\phi = \left[ -\cos\phi ight]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$
$\int_0^1 e^{ ho^3} ho^2 \,\mathrm{d} ho = rac{1}{3} \int_0^1 e^{ ho^3} \,\mathrm{d}( ho^3) = rac{1}{3} \left[ e^{ ho^3} ight]_0^1 = rac{1}{3}(e - 1)$

將各部分相乘：

I = 2\pi \cdot 2 \cdot rac{1}{3}(e - 1) = rac{4\pi}{3}(e - 1) \,.