題目

Problem

7. Find the surface area of the part of the paraboloid $z = x^2 + y^2$ that lies between the planes $z = 1$ and $z = 9$ . (10%)

解答

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本題要求計算拋物面 $z = x^2+y^2$ 在 $z=1$ 與 $z=9$ 之間部分的表面積。
第一步：寫出曲面面積公式： $A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \,\mathrm{d}A$ 其中 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$ 。故面積微元為 $\mathrm{d}S = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 。
第二步：分析積分區域 $D$ ：在 $xy$ 平面上， $1 \le z \le 9 \implies 1 \le x^2+y^2 \le 9$ 。這是一個內半徑為 1、外半徑為 3 的圓環區域。
第三步：極座標積分：極座標範圍： $0 \le \theta \le 2\pi, \ 1 \le r \le 3$ 。 $A = \int_0^{2\pi} \int_1^3 \sqrt{1+4r^2} \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 利用簡單的 $\mathrm{d}(1+4r^2)$ 換元即可求解。

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曲面由 $z = x^2 + y^2$ 定義，我們計算其偏導數：

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y

曲面面積微元 $\mathrm{d}S$ 為：

\mathrm{d}S = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \,\mathrm{d}A = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

積分區域 $D$ 為曲面在 $xy$ 平面上的投影。因為曲面介於 $z=1$ 與 $z=9$ 之間：

1 \le x^2 + y^2 \le 9

此為一圓環區域。

我們引入極座標系：

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta

積分範圍為：

0 \le \theta \le 2\pi, \quad 1 \le r \le 3

代入面積積分公式：

\begin{align*} A =&\, \int_0^{2\pi} \int_1^3 \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \left( \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \right) \cdot \int_1^3 \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r\,\mathrm{d}r \\[4mm] =&\, 2\pi \cdot \frac{1}{8} \int_1^3 (1 + 4r^2)^{1/2} \,\mathrm{d}(1 + 4r^2) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{4} \left[ \frac{2}{3} (1 + 4r^2)^{3/2} \right]_1^3 \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{6} \left( (1 + 4(9))^{3/2} - (1 + 4(1))^{3/2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{6} \left( 37^{3/2} - 5^{3/2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{6} \left( 37\sqrt{37} - 5\sqrt{5} \right) \,. \end{align*}