題目
Problem
6. Find the maximum value of the function f(x,y,z)=x+2y+3z on the curve of intersection of the plane x−y+z=0 and the cylinder x2+y2=29. (10%)
解答
解法一（推薦：消去法 + 柯西不等式 — 最簡捷）
思路
展開
- 本題要在兩個條件下求目標函數 f(x,y,z)=x+2y+3z 的最大值。
- 條件一（平面）： x−y+z=0
- 條件二（圓柱面）： x2+y2=29
- 第一步：消去變數 z：
利用條件一得 z=y−x。將其代入目標函數：
f(x,y,z)=x+2y+3(y−x)=−2x+5y
如此一來，問題轉化為：在約束 x2+y2=29 下，求二元函數 g(x,y)=−2x+5y 的極值。
- 第二步：利用柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)：
對於向量 a=⟨−2,5angle 與 b=⟨x,yangle：
(−2x+5y)2≤((−2)2+52)(x2+y2)
- 代入 x2+y2=29，即可瞬間求出最大值與最小值。
答題過程
展開
首先利用平面方程式 x−y+z=0 將變數 z 表示為：
z=y−x
將其代入目標函數 f(x,y,z) 中，消去變數 z：
f(x,y,z)=x+2y+3(y−x)=−2x+5y
現在問題簡化為：在約束條件 x2+y2=29 下，求二元函數 g(x,y)=−2x+5y 的最大值。
根據柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)：
\left( (-2)x + 5y
ight)^2 \le \left( (-2)^2 + 5^2
ight) \left( x^2 + y^2
ight)
(−2x+5y)2≤(4+25)(x2+y2)
代入已知約束 x2+y2=29：
(−2x+5y)2≤(29)(29)=292
因此，我們可以得到：
−29≤−2x+5y≤29
故當等號成立時， f(x,y,z) 的最大值為：
29.
（等號成立條件為 rac{x}{-2} = rac{y}{5}，代入約束可解得 x=−2,y=5，進而 z=y−x=7，此點確實在交線上。）
解法二（拉格朗日乘子法）
思路
展開
使用標準的雙約束拉格朗日乘子法，設兩個乘子 λ 與 μ，解方程組求極值點。
答題過程
展開
設定拉格朗日函數為：
L(x,y,z,λ,μ)=(x+2y+3z)−λ(x−y+z)−μ(x2+y2−29)
對變數求導並令其為 0：
egin{align*}
\mathcal{L}_x =&\, 1 - \lambda - 2\mu x = 0 ag{1} \[2mm]
\mathcal{L}_y =&\, 2 + \lambda - 2\mu y = 0 ag{2} \[2mm]
\mathcal{L}_z =&\, 3 - \lambda = 0 \quad\implies \lambda = 3 ag{3}
\end{align*}
將 (3) 的 λ=3 代入 (1) 與 (2)：
egin{align*}
1 - 3 - 2\mu x = 0 \implies -2 = 2\mu x \implies \mu x = -1 ag{4} \[2mm]
2 + 3 - 2\mu y = 0 \implies 5 = 2\mu y \implies \mu y = rac{5}{2} ag{5}
\end{align*}
由 (4) 與 (5) 相除可得：
rac{y}{x} = - rac{5}{2} \implies y = - rac{5}{2}x
代回約束條件 x2+y2=29：
x^2 + \left(- rac{5}{2}x
ight)^2 = 29 \implies x^2 + rac{25}{4}x^2 = 29 \implies rac{29}{4}x^2 = 29 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2
- 情況一：若 x=−2，則 y=5。代入 z=y−x=7。
此時目標函數值為：
f(−2,5,7)=−2+2(5)+3(7)=29
- 情況二：若 x=2，則 y=−5。代入 z=y−x=−7。
此時目標值為：
f(2,−5,−7)=2−10−21=−29
比較可知，最大值為 29。
