題目

Problem

5. Find the 5th derivative $f^{(5)}(0)$ of the function $f(x) = \ln(1 + x)\cdot an^{-1} x$ . (10%)

解答

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本題要求函數 $f(x) = \ln(1+x)\cdot an^{-1}x$ 在 $x=0$ 處的五階導數 $f^{(5)}(0)$ 。
直接對乘積函數連續求導五次非常繁瑣且極易出錯。
我們可以使用麥克勞林級數 (Maclaurin Series) 的性質： $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} rac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$ 因此， $x^5$ 項的係數為 $c_5 = rac{f^{(5)}(0)}{5!} \implies f^{(5)}(0) = 120 \cdot c_5$ 。
第一步：列出子函數的麥克勞林展開式：
- $\ln(1+x) = x - rac{1}{2}x^2 + rac{1}{3}x^3 - rac{1}{4}x^4 + rac{1}{5}x^5 - \cdots$
- $an^{-1}x = x - rac{1}{3}x^3 + rac{1}{5}x^5 - \cdots$
第二步：尋找乘積後 $x^5$ 的係數 $c_5$ ：我們只需挑選兩級數相乘時次方相加等於 5 的項：
- $\ln(1+x)$ 的 $x^2$ 項與 $an^{-1}x$ 的 $x^3$ 項： $\left(- rac{1}{2} ight) \cdot \left(- rac{1}{3} ight) = rac{1}{6}$ 。
- $\ln(1+x)$ 的 $x^4$ 項與 $an^{-1}x$ 的 $x^1$ 項： $\left(- rac{1}{4} ight) \cdot (1) = - rac{1}{4}$ 。
- 其餘組合相乘次方不為 5。
將這些係數相加求得 $c_5$ ，進而求得 $f^{(5)}(0)$ 。

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根據麥克勞林級數的定義，若 $f(x)$ 能展開為冪級數 $\sum c_n x^n$ ，則其 $x^5$ 項的係數為：

c_5 = rac{f^{(5)}(0)}{5!} \implies f^{(5)}(0) = 5! \cdot c_5 = 120 c_5

我們寫出兩個子函數在 $x=0$ 附近的麥克勞林級數展開式：

egin{align*} \ln(1 + x) =&\, x - rac{1}{2}x^2 + rac{1}{3}x^3 - rac{1}{4}x^4 + rac{1}{5}x^5 + O(x^6) \[2mm] an^{-1} x =&\, x - rac{1}{3}x^3 + rac{1}{5}x^5 + O(x^7) \end{align*}

將兩個級數相乘：

f(x) = \left( x - rac{1}{2}x^2 + rac{1}{3}x^3 - rac{1}{4}x^4 + rac{1}{5}x^5 + \cdots ight) \left( x - rac{1}{3}x^3 + rac{1}{5}x^5 + \cdots ight)

我們只提取乘積後次方為 $5$ 的項。這些項只能由以下兩項相乘產生：

$\ln(1+x)$ 中的 $- rac{1}{2}x^2$ 與 $an^{-1}x$ 中的 $- rac{1}{3}x^3$ 相乘： $\left( - rac{1}{2}x^2$

ight) \left( - rac{1}{3}x^3 ight) = rac{1}{6}x^5

2. $\ln(1+x)$ 中的 $- rac{1}{4}x^4$ 與 $ an^{-1}x$ 中的 $x$ 相乘：

\left( - rac{1}{4}x^4 ight) (x) = - rac{1}{4}x^5

因此，乘積後 $x^5$ 的總係數 $c_5$ 為：

c_5 = rac{1}{6} - rac{1}{4} = rac{2 - 3}{12} = -rac{1}{12}

最後，計算五階導數的值：

f^{(5)}(0) = 120 \cdot c_5 = 120 \left( -rac{1}{12} ight) = -10 ,.

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