題目
Problem
4. Find the arc length of the cycloid (10%)
C: egin{cases} x = r( heta - \sin heta) \ y = r(1 - \cos heta) \end{cases} \,, \quad 0 \le heta \le rac{\pi}{2} \,.(註：原卷英文將 “arc length” 誤植為 “are length”)
解答
解法一
思路
展開
- 本題要求計算擺線（Cycloid）在參數範圍 內的弧長。
- 參數式曲線的弧長公式為：
ight)^2 + \left( rac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} heta} ight)^2} ,\mathrm{d} heta$$ 3. 第一步：分別對參數 求導：
- rac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} heta} = r(1-\cos heta)
- rac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} heta} = r\sin heta
- 第二步：簡化根式項： 將兩導數平方和相加，並利用半角公式 進行化簡消去根號。
- 第三步：進行積分： 代入積分公式求解。
答題過程
展開
參數曲線的弧長公式為：
L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left( rac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} heta} ight)^2 + \left( rac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} heta} ight)^2} \,\mathrm{d} heta首先，我們計算 與 對 的導數：
egin{align*} rac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} heta} =&\, r(1 - \cos heta) \[2mm] rac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} heta} =&\, r\sin heta \end{align*}計算根號內的被積表達式：
egin{align*} \left( rac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} heta} ight)^2 + \left( rac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} heta} ight)^2 =&\, r^2(1 - \cos heta)^2 + r^2\sin^2 heta \[2mm] =&\, r^2 \left( 1 - 2\cos heta + \cos^2 heta + \sin^2 heta ight) \[2mm] =&\, r^2 \left( 2 - 2\cos heta ight) \[2mm] =&\, 2r^2 (1 - \cos heta) \end{align*}利用三角函數半角公式 1 - \cos heta = 2\sin^2\left( rac{ heta}{2} ight)：
2r^2 (1 - \cos heta) = 4r^2 \sin^2\left( rac{ heta}{2} ight)因此，弧長微元為：
\mathrm{d}s = \sqrt{4r^2 \sin^2\left( rac{ heta}{2} ight)}\,\mathrm{d} heta = 2r\sin\left( rac{ heta}{2} ight)\,\mathrm{d} heta（在 0 \le heta \le rac{\pi}{2} 範圍內， 0 \le rac{ heta}{2} \le rac{\pi}{4}，故 ）
將其代入弧長積分式中（假設 ）：
egin{align*} L =&\, \int_0^{ rac{\pi}{2}} 2r\sin\left( rac{ heta}{2} ight)\,\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, 2r \left[ -2\cos\left( rac{ heta}{2} ight) ight]_0^{ rac{\pi}{2}} \[4mm] =&\, -4r \left( \cos\left( rac{\pi}{4} ight) - \cos(0) ight) \[4mm] =&\, -4r \left( rac{\sqrt{2}}{2} - 1 ight) \[4mm] =&\, 4r \left( 1 - rac{\sqrt{2}}{2} ight) = r(4 - 2\sqrt{2}) \,. \end{align*}