題目
Problem
3. Evaluate. (10%)
\int_0^1 rac{1}{x^2 + 2} \,\mathrm{d}x \,.解答
解法一
思路
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- 本題要求計算定積分 \int_0^1 rac{1}{x^2+2}\,\mathrm{d}x。
- 這是一個標準的反正切函數求導逆運算。我們知道公式：
ight) + C$$ 3. 在本題中， 。 4. 代入公式並代入上下限 與 求解。
答題過程
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利用反三角函數不定積分公式：
\int rac{1}{x^2 + a^2} \,\mathrm{d}x = rac{1}{a} an^{-1}\left( rac{x}{a} ight) + C本題中令 。求其定積分：
egin{align*} \int_0^1 rac{1}{x^2 + 2} \,\mathrm{d}x =&\, \left[ rac{1}{\sqrt{2}} an^{-1}\left( rac{x}{\sqrt{2}} ight) ight]_0^1 \[4mm] =&\, rac{1}{\sqrt{2}} \left( an^{-1}\left( rac{1}{\sqrt{2}} ight) - an^{-1}(0) ight) \[4mm] =&\, rac{1}{\sqrt{2}} an^{-1}\left( rac{1}{\sqrt{2}} ight) \[4mm] =&\, rac{\sqrt{2}}{2} an^{-1}\left( rac{\sqrt{2}}{2} ight) \,. \end{align*}