題目

Problem

10. Evaluate $\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$ , where

\mathbf{F}(x, y, z) = xy\mathbf{i} + (y^2 + e^{xz})\mathbf{j} + \cos(xy)\mathbf{k}

and $S$ is the surface of the region $E$ bounded by the parabolic cylinder $z = 1 - x^2$ and the planes $z = 0, y = 0, y + z = 2$ . (10%)

解答

展開

本題要求向量場 $\mathbf{F}$ 在封閉曲面 $S$ 上的面積分。
由於 $S$ 是立體區域 $E$ 的完整邊界曲面，我們直接套用散度定理 (Divergence Theorem)。
第一步：求散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ ： $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = y + 2y + 0 = 3y$
第二步：描述立體區域 $E$ 的積分範圍：
- 邊界為 $z=0, y=0, z = 1-x^2, y+z=2$ 。
- 將區域 $E$ 投影至 $xz$ 平面：因為 $z \ge 0$ 且 $z \le 1-x^2$ ，因此投影區域 $D_{xz}$ 為拋物線與 $x$ 軸圍成的區域： $-1 \le x \le 1, \quad 0 \le z \le 1-x^2$
- 對於投影面上的任一點 $(x,z)$ ，沿 $y$ 軸方向， $y$ 的邊界從 $y=0$ 延伸至平面 $y+z=2 \implies y = 2-z$ 。
- 故立體區域 $E$ 描述為： $x \in [-1, 1], z \in [0, 1-x^2], y \in [0, 2-z]$ 。
第三步：進行累次積分：我們先對 $y$ 進行積分，再對 $z$ 積分，最後對 $x$ 積分。

展開

由於 $S$ 為封閉立體區域 $E$ 的完整邊界曲面，根據散度定理：

\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_E abla \cdot \mathbf{F} \,\mathrm{d}V

首先，計算向量場 $\mathbf{F}$ 的散度：

abla \cdot \mathbf{F} = rac{\partial}{\partial x}(xy) + rac{\partial}{\partial y}(y^2 + e^{xz}) + rac{\partial}{\partial z}(\cos(xy)) = y + 2y + 0 = 3y

我們分析立體區域 $E$ 的邊界：

我們將 $E$ 投影到 $xz$ 平面。因為 $z \ge 0$ 且 $z \le 1 - x^2$ ，故 $xz$ 平面上的投影區域 $D_{xz}$ 為：

D_{xz} = \{ (x, z) \mid -1 \le x \le 1, \ 0 \le z \le 1 - x^2 \}

對於 $D_{xz}$ 中的每一個點 $(x, z)$ ， $y$ 從 $y = 0$ 到 $y = 2 - z$ 變化。因此，體積分可寫為累次積分形式：

\iiint_E 3y \,\mathrm{d}V = \iint_{D_{xz}} \left( \int_0^{2-z} 3y \,\mathrm{d}y ight) \mathrm{d}A

先對內層的 $y$ 進行積分：

\int_0^{2-z} 3y \,\mathrm{d}y = \left[ rac{3}{2} y^2 ight]_0^{2-z} = rac{3}{2} (2 - z)^2

代回二重積分，對 $z$ 與 $x$ 進行累次積分：

I = \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} rac{3}{2} (2 - z)^2 \,\mathrm{d}z\mathrm{d}x

先對 $z$ 積分（令 $u = 2-z \implies \mathrm{d}u = -\mathrm{d}z$ ）：

egin{align*} \int_0^{1-x^2} rac{3}{2} (2 - z)^2 \,\mathrm{d}z =&\, \left[ - rac{1}{2} (2 - z)^3 ight]_0^{1-x^2} \[4mm] =&\, - rac{1}{2} \left( 2 - (1 - x^2) ight)^3 - \left( - rac{1}{2} (2)^3 ight) \[4mm] =&\, 4 - rac{1}{2} (1 + x^2)^3 \end{align*}

接下來對 $x$ 進行積分。由於被積函數為偶函數，我們可以使用對稱性：

egin{align*} I =&\, \int_{-1}^1 \left( 4 - rac{1}{2} (1 + x^2)^3 ight) \mathrm{d}x \[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( 4 - rac{1}{2} (1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6) ight) \mathrm{d}x \[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( rac{7}{2} - rac{3}{2}x^2 - rac{3}{2}x^4 - rac{1}{2}x^6 ight) \mathrm{d}x \[4mm] =&\, 2 \left[ rac{7}{2}x - rac{1}{2}x^3 - rac{3}{10}x^5 - rac{1}{14}x^7 ight]_0^1 \[4mm] =&\, 2 \left( rac{7}{2} - rac{1}{2} - rac{3}{10} - rac{1}{14} ight) \[4mm] =&\, 2 \left( 3 - rac{3}{10} - rac{1}{14} ight) \[4mm] =&\, 2 \left( rac{27}{10} - rac{1}{14} ight) \[4mm] \begin{align*} I =&\, \int_{-1}^1 \left( 4 - \frac{1}{2} (1 + x^2)^3 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( 4 - \frac{1}{2} (1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6) \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \left[ \frac{7}{2}x - \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{10}x^5 - \frac{1}{14}x^7 \right]_0^1 \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{7}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( 3 - \frac{3}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{27}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{189 - 5}{70} \right) = 2 \left( \frac{184}{70} \right) = \frac{184}{35} \,. \end{align*}

因此，面積分的正確數值為：

\frac{184}{35} \approx 5.257 \,.