題目
Problem
- Evaluate the limit. (10%)
解答
解法一（最速因式分解法）
思路
展開
- 本題要求極限 \lim_{x o 1} rac{\sqrt{x}-1}{x-1}。
- 當 時，分子與分母皆為 0，是 rac{0}{0} 型的不定式。
- 我們可以利用平方差公式將分母 因式分解為 ，從而約去分子分母中的零因子。
答題過程
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我們將分母利用平方差公式進行因式分解：
將其代回原極限式：
egin{align*} \lim_{x o 1} rac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} =&\, \lim_{x o 1} rac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \[4mm] =&\, \lim_{x o 1} rac{1}{\sqrt{x} + 1} \[4mm] =&\, rac{1}{\sqrt{1} + 1} = rac{1}{2} \,. \end{align*}解法二（羅必達法則）
思路
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因為本極限是 rac{0}{0} 不定式，我們也可以直接套用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)，對分子與分母分別求導。
答題過程
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原極限為 rac{0}{0} 不定式，由羅必達法則：
egin{align*} \lim_{x o 1} rac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} =&\, \lim_{x o 1} rac{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x} - 1)}{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 1)} \[4mm] =&\, \lim_{x o 1} rac{ rac{1}{2\sqrt{x}}}{1} \[4mm] =&\, rac{1}{2\sqrt{1}} = rac{1}{2} \,. \end{align*}