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112 台綜大微積分(B) 第 8 題

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112學年度 · 112微積分B · 第 8 題

題目

Problem

8. Use the method of Lagrange multipliers to find the minimum value of the function f(x,y,z)=x−y+zf(x, y, z) = x - y + z subject to the constraint 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9. (10%)

解答

解法一（標準拉格朗日乘子法）

思路

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  1. 本題要求在約束條件 g(x,y,z)=2x2+4y2+4z2−9=0g(x,y,z) = 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9 = 0 下，求目標函數 f(x,y,z)=x−y+zf(x,y,z) = x-y+z 的最小值。
  2. 建立拉格朗日方程式： L(x,y,z,λ)=(x−y+z)−λ(2x2+4y2+4z2−9)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = (x - y + z) - \lambda(2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9)
  3. 第一步：求偏導並列出方程組：
    • \mathcal{L}_x = 1 - 4\lambda x = 0 \implies x = rac{1}{4\lambda}
    • \mathcal{L}_y = -1 - 8\lambda y = 0 \implies y = - rac{1}{8\lambda}
    • \mathcal{L}_z = 1 - 8\lambda z = 0 \implies z = rac{1}{8\lambda}
  4. 第二步：代入約束條件求出 λ\lambda： 將 x,y,zx, y, z 的表達式代入 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9，求出 λ\lambda 的值。
  5. 第三步：求極值並確定最小值： 將不同的 λ\lambda 值代入得到對應的臨界點，計算並比較 f(x,y,z)f(x,y,z) 函數值以確定最小值。

答題過程

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我們設定拉格朗日函數：

L(x,y,z,λ)=(x−y+z)−λ(2x2+4y2+4z2−9)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = (x - y + z) - \lambda(2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9)

對各變數求偏導並令其為 0，得到方程組：

egin{align*} rac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} =&\, 1 - 4\lambda x = 0 \quad\implies x = rac{1}{4\lambda} ag{1} \[2mm] rac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} =&\, -1 - 8\lambda y = 0 \implies y = - rac{1}{8\lambda} ag{2} \[2mm] rac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} =&\, 1 - 8\lambda z = 0 \quad\implies z = rac{1}{8\lambda} ag{3} \[2mm] rac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} =&\, 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9 = 0 ag{4} \end{align*}

將 (1)、(2)、(3) 代入約束條件 (4) 中：

2\left( rac{1}{4\lambda} ight)^2 + 4\left(- rac{1}{8\lambda} ight)^2 + 4\left( rac{1}{8\lambda} ight)^2 = 9 2\left( rac{1}{16\lambda^2} ight) + 4\left( rac{1}{64\lambda^2} ight) + 4\left( rac{1}{64\lambda^2} ight) = 9 rac{1}{8\lambda^2} + rac{1}{16\lambda^2} + rac{1}{16\lambda^2} = 9 rac{1}{4\lambda^2} = 9 \implies \lambda^2 = rac{1}{36} \implies \lambda = \pm rac{1}{6}

我們分兩種情況討論臨界點與函數值：

  1. 當 \lambda = rac{1}{6} 時： x = rac{1}{4(1/6)} = rac{3}{2}, \quad y = - rac{1}{8(1/6)} = - rac{3}{4}, \quad z = rac{1}{8(1/6)} = rac{3}{4} 此時目標函數值為： f\left( rac{3}{2}, - rac{3}{4}, rac{3}{4}

ight) = rac{3}{2} - \left(- rac{3}{4} ight) + rac{3}{4} = rac{3}{2} + rac{3}{2} = 3

2. **當 $\lambda = - rac{1}{6}$ 時**：

x = - rac{3}{2}, \quad y = rac{3}{4}, \quad z = - rac{3}{4}

此時目標函數值為：此時目標函數值為：

f\left(- rac{3}{2}, rac{3}{4}, - rac{3}{4} ight) = - rac{3}{2} - rac{3}{4} + \left(- rac{3}{4} ight) = - rac{3}{2} - rac{3}{2} = -3

由於約束條件定義的曲面 $2x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9$ 是一個封閉且有界的橢球面，由極值定理，連續函數 $f$ 在其上必有最大值與最小值。 因此，最小值為：

-3 ,.

</details> ## 解法二（幾何平行法 — 快速求解） ### 思路 <details> <summary>展開</summary> 根據拉格朗日乘子法的幾何本質，在極值點處，目標函數的梯度向量必與約束條件的梯度向量平行，即 $ abla f = \lambda abla g \implies abla f \parallel abla g$。這可以幫助我們快速得到變數間的比例關係。 </details> ### 答題過程 <details> <summary>展開</summary> 設目標函數為 $f(x, y, z) = x - y + z$，約束面為 $g(x, y, z) = 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9$。 計算兩者的梯度向量：

abla f = \langle 1, -1, 1 angle, \quad abla g = \langle 4x, 8y, 8z angle

在極值點處，兩梯度向量必須平行： 在極值點處，兩梯度向量必須平行：

abla g \parallel abla f \implies rac{4x}{1} = rac{8y}{-1} = rac{8z}{1}

由此可得關係式：由此可得關係式：

4x = -8y = 8z \implies y = - rac{x}{2}, \quad z = rac{x}{2}

將 $y$ 和 $z$ 的關係代回約束條件 $2x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9$ 中：

2x^2 + 4\left(- rac{x}{2} ight)^2 + 4\left( rac{x}{2} ight)^2 = 9

2x^2 + x^2 + x^2 = 9 \implies 4x^2 = 9 \implies x = \pm rac{3}{2}

* 若 $x = - rac{3}{2}$，則 $y = rac{3}{4}, z = - rac{3}{4}$，此時目標值為：

f\left(- rac{3}{2}, rac{3}{4}, - rac{3}{4} ight) = - rac{3}{2} - rac{3}{4} - rac{3}{4} = -3

* 若 $x = rac{3}{2}$，則 $y = - rac{3}{4}, z = rac{3}{4}$，此時目標值為 $3$。 故所求最小值為 $-3$。 </details>