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112 台綜大微積分(B) 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分B

112學年度 · 112微積分B · 第 3 題

題目

Problem

3. Evaluate \displaystyle \lim_{x o -\infty} rac{\ln\left(8^x + 9^x ight)}{3x}. (10%)

解答

解法一（推薦：漸近分析法 — 最速解）

思路

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  1. 本題要求當 xo−∞x o -\infty 時的極限 \lim_{x o -\infty} rac{\ln(8^x + 9^x)}{3x}。
  2. 因為 xo−∞x o -\infty，直接處理負無窮可能較為抽象。我們先做變數變換，令 y=−xo∞y = -x o \infty。
  3. 極限轉為： \lim_{y o \infty} rac{\ln(8^{-y} + 9^{-y})}{-3y}
  4. 當 yo∞y o \infty 時，指數衰減項 8−y8^{-y} 與 9−y9^{-y} 中，誰是主導項？
    • 因為底數 8<98 < 9，當 y>0y > 0 時， 8−y>9−y8^{-y} > 9^{-y}。
    • 因此在無窮遠處， 8−y8^{-y} 的衰減速度慢於 9−y9^{-y}，它是主導項。
    • 我們可以把主導項 8−y8^{-y} 提出來：

ight)^y ight) ight) = -y\ln 8 + \ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight)$$ 5. 由於 rac{8}{9} < 1，當 yo∞y o \infty 時， \left( rac{8}{9} ight)^y o 0，故後方的對數項趨近於 ln⁡1=0\ln 1 = 0。 6. 極限便可直接化簡並求解。

答題過程

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為了便於討論，我們令 y=−xy = -x。當 xo−∞x o -\infty 時， yo∞y o \infty。 原極限式可以寫為：

I = \lim_{y o \infty} rac{\ln\left( 8^{-y} + 9^{-y} ight)}{-3y}

我們將對數內部的項提取主導項 8−y8^{-y}：

egin{align*} \ln\left( 8^{-y} + 9^{-y} ight) =&\, \ln\left[ 8^{-y} \left( 1 + rac{9^{-y}}{8^{-y}} ight) ight] \[2mm] =&\, \ln\left[ 8^{-y} \left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight) ight] \[2mm] =&\, \ln\left(8^{-y} ight) + \ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight) \[2mm] =&\, -y\ln 8 + \ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight) \end{align*}

由於底數比值 rac{8}{9} < 1，因此：

\lim_{y o \infty} \left( rac{8}{9} ight)^y = 0 \implies \lim_{y o \infty} \ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight) = \ln(1) = 0

將此漸近展開代回極限式：

egin{align*} I =&\, \lim_{y o \infty} rac{-y\ln 8 + \ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight)}{-3y} \[4mm] =&\, \lim_{y o \infty} \left( rac{-y\ln 8}{-3y} + rac{\ln\left( 1 + \left( rac{8}{9} ight)^y ight)}{-3y} ight) \[4mm] =&\, rac{\ln 8}{3} + 0 \[4mm] =&\, rac{3\ln 2}{3} = \ln 2 \,. \end{align*}

解法二（羅必達法則）

思路

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本極限在 yo∞y o \infty 時為 rac{-\infty}{-\infty} 不定式，我們也可以使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)。

答題過程

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令 y=−xo∞y = -x o \infty，極限式為：

\lim_{y o \infty} rac{\ln\left( 8^{-y} + 9^{-y} ight)}{-3y} \quad \left( ext{屬於 } rac{\infty}{\infty} ext{ 型} ight)

應用羅必達法則，對分子分母分別求導：

egin{align*} \lim_{y o \infty} rac{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln\left( 8^{-y} + 9^{-y} ight)}{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(-3y)} =&\, \lim_{y o \infty} rac{ rac{-8^{-y}\ln 8 - 9^{-y}\ln 9}{8^{-y} + 9^{-y}}}{-3} \[4mm] =&\, rac{1}{3} \lim_{y o \infty} rac{8^{-y}\ln 8 + 9^{-y}\ln 9}{8^{-y} + 9^{-y}} \end{align*}

將分子與分母同乘以 8y8^y：

egin{align*} rac{1}{3} \lim_{y o \infty} rac{\ln 8 + \left( rac{8}{9} ight)^y \ln 9}{1 + \left( rac{8}{9} ight)^y} =&\, rac{1}{3} \cdot rac{\ln 8 + 0 \cdot \ln 9}{1 + 0} \[4mm] =&\, rac{\ln 8}{3} = \ln 2 \,. \end{align*}