題目
Problem
2. Evaluate \displaystyle \int_{1}^{2} rac{1}{x^2} \cos\left( rac{\pi}{x} ight) \mathrm{d}x. (10%)
解答
解法一
思路
展開
- 本題要求計算定積分 \int_1^2 rac{1}{x^2}\cos( rac{\pi}{x})\,\mathrm{d}x。
- 觀察被積函數，包含 rac{\pi}{x} 與其導數結構相關的 rac{1}{x^2}。這提示我們應使用換元積分法 (Substitution Method)。
- 令 u = rac{\pi}{x} \implies \mathrm{d}u = - rac{\pi}{x^2}\,\mathrm{d}x \implies rac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = - rac{1}{\pi}\,\mathrm{d}u。
- 變更積分上下限：
- 當 時， 。
- 當 時， u = rac{\pi}{2}。
- 將所有項代入新變數 後求積分。
答題過程
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我們採用換元積分法。令：
u = rac{\pi}{x} \implies \mathrm{d}u = - rac{\pi}{x^2}\,\mathrm{d}x \implies rac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = - rac{1}{\pi}\,\mathrm{d}u變更積分界限：
- 當 時， u = rac{\pi}{1} = \pi。
- 當 時， u = rac{\pi}{2}。
代入積分式中：
egin{align*} \int_{1}^{2} rac{1}{x^2} \cos\left( rac{\pi}{x} ight) \mathrm{d}x =&\, \int_{\pi}^{ rac{\pi}{2}} \cos(u) \left( - rac{1}{\pi} ight) \mathrm{d}u \[4mm] =&\, rac{1}{\pi} \int_{ rac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(u)\,\mathrm{d}u \[4mm] =&\, rac{1}{\pi} \left[ \sin u ight]_{ rac{\pi}{2}}^{\pi} \[4mm] =&\, rac{1}{\pi} \left( \sin\pi - \sin rac{\pi}{2} ight) \[4mm] =&\, rac{1}{\pi} (0 - 1) \[4mm] =&\, - rac{1}{\pi} \,. \end{align*}