題目

Problem

10. For $|x| < rac{3}{2}$ , the function $\displaystyle f(x) = rac{2x^5}{16x^4 + 81}$ can be expressed as a power series $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ , where $a_n$ ‘s are constants. Find the value of $a_{25}$ . (10%)

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本題要求找出函數 $f(x) = rac{2x^5}{16x^4 + 81}$ 展開為麥克勞林級數（中心在 $0$ 的冪級數）後， $x^{25}$ 項的係數 $a_{25}$ 。
我們可以利用幾何級數展開公式： $rac{1}{1 - u} = \sum_{m=0}^{\infty} u^m \quad ( ext{當 } |u| < 1)$
第一步：化簡函數結構：將分母提出常數 81，改寫為標準的幾何級數形式：

ight) ight)}$$ 4. 第二步：展開成級數：令 $u = - rac{16}{81}x^4$ ，將其展開成級數：

ight)^m$$ 5. **第三步：尋找 $x^{25}$ 的項**： 級數的一般項之次方為 $4m+5$。令 $4m+5 = 25 \implies 4m = 20 \implies m=5$。 將 $m=5$ 代入係數表達式，即可算出 $a_{25}$ 的值。 </details> ### 答題過程 <details> <summary>展開</summary> 我們首先利用幾何級數公式將 $f(x)$ 改寫：

f(x) = rac{2x^5}{16x^4 + 81} = rac{2x^5}{81 \left( 1 + rac{16}{81}x^4 ight)} = rac{2x^5}{81} \cdot rac{1}{1 - \left( -rac{16}{81}x^4 ight)}

由於已知 $|x| < rac{3}{2}$，我們可以推得：

\left| -rac{16}{81}x^4 ight| = rac{16}{81}|x|^4 < rac{16}{81} \left(rac{3}{2} ight)^4 = rac{16}{81} \cdot rac{81}{16} = 1

符合幾何級數的收斂條件。因此，我們將其展開為無窮級數：

egin{align*} f(x) =&, rac{2x^5}{81} \sum_{m=0}^{\infty} \left( -rac{16}{81}x^4 ight)^m [4mm] =&, rac{2x^5}{81} \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m rac{16^m}{81^m} x^{4m} [4mm] =&, \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m rac{2 \cdot 2^{4m}}{3^4 \cdot (3^4)^m} x^{4m+5} [4mm] =&, \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m rac{2^{4m+1}}{3^{4m+4}} x^{4m+5} \end{align*}

題目要求 $x^{25}$ 的係數 $a_{25}$。令 $x$ 的次方為 $25$：

4m + 5 = 25 \implies 4m = 20 \implies m = 5

將 $m = 5$ 代入級數的係數項中：

egin{align*} a_{25} =&, (-1)^5 rac{2^{4(5)+1}}{3^{4(5)+4}} [4mm] =&, - rac{2^{21}}{3^{24}} ,. \end{align*}

</details>

112 台綜大微積分(B) 第 10 題

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