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112 台綜大微積分(A) 第 9 題

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112學年度 · 112微積分A · 第 9 題

題目

Problem

9. Evaluate ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}, where F=⟨yexy,xexyangle\mathbf{F} = \langle ye^{xy}, xe^{xy} angle and CC is the unit circle x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. (10%)

解答

解法一（保守場性質法 — 最速解）

思路

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  1. 本題要求二維向量場 F=⟨P,Qangle=⟨yexy,xexyangle\mathbf{F} = \langle P, Q angle = \langle y e^{xy}, x e^{xy} angle 在閉曲線 CC（單位圓）上的環量線積分。
  2. 首先判斷向量場是否為保守場 (Conservative Vector Field)：
    • rac{\partial P}{\partial y} = rac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
    • rac{\partial Q}{\partial x} = rac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
    • 因為 rac{\partial P}{\partial y} = rac{\partial Q}{\partial x}，且定義域為整個 R2\mathbb{R}^2（單連通區域），故 F\mathbf{F} 是保守場。
  3. 保守場最重要的幾何性質為：沿任意閉曲線的線積分恆為 0。
  4. 由於 CC 是一條封閉的單位圓周，因此其線積分值必然為 00。

答題過程

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設向量場 F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)angle=⟨yexy,xexyangle\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x,y), Q(x,y) angle = \langle y e^{xy}, x e^{xy} angle。 我們計算其旋度（在二維平面上即判斷偏導數是否相等）：

egin{align*} rac{\partial P}{\partial y} =&\, rac{\partial}{\partial y}\left( y e^{xy} ight) = e^{xy} + xy e^{xy} \[2mm] rac{\partial Q}{\partial x} =&\, rac{\partial}{\partial x}\left( x e^{xy} ight) = e^{xy} + xy e^{xy} \end{align*}

因為 rac{\partial P}{\partial y} = rac{\partial Q}{\partial x} 於全平面 R2\mathbb{R}^2 恆成立，且 R2\mathbb{R}^2 為單連通區域，因此 F\mathbf{F} 為保守場 (Conservative Vector Field)。 事實上，我們可以輕易看出 F\mathbf{F} 的勢函數 (Potential Function) 為：

f(x,y)=exy  ⟹  ablaf=⟨yexy,xexyangle=Ff(x, y) = e^{xy} \implies abla f = \langle y e^{xy}, x e^{xy} angle = \mathbf{F}

根據保守線積分的性質，保守場沿著任意閉曲線 CC 的線積分皆為零。由於單位圓 C:x2+y2=1C: x^2 + y^2 = 1 為一封閉曲線，故：

∮CF⋅dr=0 .\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 \,.

解法二（格林定理法）

思路

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對於平面閉曲線線積分，我們可以直接套用格林定理 (Green’s Theorem)，將線積分轉化為雙重積分。

答題過程

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設 DD 為單位圓 C:x2+y2=1C: x^2+y^2=1 所圍成的圓盤區域。 根據格林定理：

\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( rac{\partial Q}{\partial x} - rac{\partial P}{\partial y} ight) \mathrm{d}x\mathrm{d}y

將偏導數帶入：

egin{align*} \oint_C ye^{xy}\,\mathrm{d}x + xe^{xy}\,\mathrm{d}y =&\, \iint_{x^2+y^2 \le 1} \left( (e^{xy} + xye^{xy}) - (e^{xy} + xye^{xy}) ight) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \[4mm] =&\, \iint_{x^2+y^2 \le 1} 0 \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \[4mm] =&\, 0 \,. \end{align*}