1. 本題要求冪級數的收斂半徑 $R$ 與收斂區間。
2. 使用比例測試 (Ratio Test)： $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$ 求出使得級數絕對收斂的 $x$ 範圍。
3. 第一步：求收斂半徑： 對一般項 $u_n = \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}} x^n$ 進行比例測試，求出極限為 $2|x|$。令其小於 1，得 $|x| < 1/2$，故收斂半徑 $R = 1/2$。
4. 第二步：檢查邊界點：
   • 當 $x = 1/2$ 時，代入原級數判定收斂性（使用交錯級數審斂法）。
   • 當 $x = -1/2$ 時，代入原級數判定收斂性（使用 p-級數審斂法）。

設級數的一般項為 $u_n(x) = \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}} x^n$。我們應用比例測試：

根據比例測試，當 $2|x| < 1$，即 $|x| < \frac{1}{2}$ 時，級數絕對收斂。 因此，收斂半徑為：

接著，我們必須單獨測試兩個端點 $x = \pm \frac{1}{2}$ 的收斂性：

1. 若 $x = -\frac{1}{2}$： 代回原級數得：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}} \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}} \frac{(-1)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$$

   這是一個 $p$-級數（其中 $p = \frac{1}{2} \le 1$），故級數發散。

2. 若 $x = \frac{1}{2}$： 代回原級數得：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$

   這是一個交錯級數 $\sum (-1)^n b_n$，其中 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$。 由於：

   • $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$
   • $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$
   • $b_{n+1} \le b_n$ 對所有 $n \ge 1$ 恆成立 根據交錯級數審斂法 (Alternating Series Test)，該級數收斂。

綜合上述，級數在 $x = -\frac{1}{2}$ 處發散，在 $x = \frac{1}{2}$ 處收斂。 因此，收斂區間為：