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112 台綜大微積分(A) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分A

112學年度 · 112微積分A · 第 4 題

題目

Problem

4. Find the length of the polar curve r=sin⁡3(heta/3)r = \sin^3( heta/3), 0≤heta≤π0 \le heta \le \pi. (10%)

解答

解法一

思路

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  1. 極座標曲線的弧長公式為：

ight)^2} ,\mathrm{d} heta$$ 本題中 lpha = 0, eta = \pi。 2. 第一步：求導 rac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d} heta}： 利用連鎖律對 r=sin⁡3(heta/3)r = \sin^3( heta/3) 求導。 3. 第二步：簡化根式項： 將 r2r^2 與 (r′)2(r')^2 相加，並利用三角恆等式 sin⁡2ϕ+cos⁡2ϕ=1\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 進行化簡。 4. 第三步：進行積分： 將化簡後的結果代入積分公式，利用半角或倍角公式求解單變數積分。

答題過程

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極座標弧長公式為：

L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{r^2 + \left( rac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d} heta} ight)^2} \,\mathrm{d} heta

首先，對 r = \sin^3\left( rac{ heta}{3} ight) 關於 heta heta 求導：

rac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d} heta} = 3\sin^2\left( rac{ heta}{3} ight) \cdot \cos\left( rac{ heta}{3} ight) \cdot rac{1}{3} = \sin^2\left( rac{ heta}{3} ight)\cos\left( rac{ heta}{3} ight)

計算根號內的表達式：

egin{align*} r^2 + \left( rac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d} heta} ight)^2 =&\, \sin^6\left( rac{ heta}{3} ight) + \sin^4\left( rac{ heta}{3} ight)\cos^2\left( rac{ heta}{3} ight) \[2mm] =&\, \sin^4\left( rac{ heta}{3} ight) \left[ \sin^2\left( rac{ heta}{3} ight) + \cos^2\left( rac{ heta}{3} ight) ight] \[2mm] =&\, \sin^4\left( rac{ heta}{3} ight) \end{align*}

因此，弧長微元為：

\mathrm{d}s = \sqrt{\sin^4\left( rac{ heta}{3} ight)}\,\mathrm{d} heta = \sin^2\left( rac{ heta}{3} ight)\,\mathrm{d} heta

（在 0≤heta≤π0 \le heta \le \pi 區間內，sin⁡(heta/3)≥0\sin( heta/3) \ge 0）

將其代入弧長積分：

egin{align*} L =&\, \int_0^{\pi} \sin^2\left( rac{ heta}{3} ight)\,\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, \int_0^{\pi} rac{1 - \cos\left( rac{2 heta}{3} ight)}{2}\,\mathrm{d} heta \[4mm] =&\, rac{1}{2} \left[ heta - rac{3}{2}\sin\left( rac{2 heta}{3} ight) ight]_0^{\pi} \[4mm] =&\, rac{1}{2} \left[ \left( \pi - rac{3}{2}\sin\left( rac{2\pi}{3} ight) ight) - 0 ight] \[4mm] =&\, rac{1}{2} \left( \pi - rac{3}{2} \cdot rac{\sqrt{3}}{2} ight) \[4mm] =&\, rac{\pi}{2} - rac{3\sqrt{3}}{8} \,. \end{align*}